在平面坐标系中,正方形ABCD的位置如图所示,点A的坐标为(1,0),点D的坐标为(0,2),延长CB交x轴于点A1,作正方形A1B1C1C,延长C1B1交x轴于点A2,作正方形A2B2C2C1,…按这样的规律进行下去,第2012个正方形的面积为( )
A. | B. | C. | D. |
D
解析试题分析:∵点A的坐标为(1,0),点D的坐标为(0,2),
∴OA=1,OD=2,
设正方形的面积分别为S1,S2…S2012,
根据题意,得:AD∥BC∥C1A2∥C2B2,
∴∠BAA1=∠B1A1A2=∠B2A2x,
∵∠ABA1=∠A1B1A2=90°,
∴△BAA1∽△B1A1A2,
在直角△ADO中,根据勾股定理,得:AD==,
∴AB=AD=BC=,
∴S1=5,
∵∠DAO+∠ADO=90°,∠DAO+∠BAA1=90°,
∴∠ADO=∠BAA1,
∴tan∠BAA1===,
∴A1B=,
∴A1C=BC+A1B=,
∴S2=×5=5×()2,
∴==,
∴A2B1=×=,
∴A2C1=B1C1+A2B1=+==×()2,
∴S3=×5=5×()4,
由此可得:Sn=5×()2n﹣2,
∴S2012=5×()2×2012﹣2=5×()4022.
故选D.
考点:相似三角形的判定与性质;坐标与图形性质;正方形的性质.
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角函数等知识.此题难度较大,解题的关键是得到规律Sn=5×()2n﹣2.
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3 | 2 |
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k′ |
x |
k′ |
x |
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