Question

1．探究题
（1）下面我们研究：平面内n条直线相交的交点个数问题．可以理解，当这n条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这n条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：
若平面内有2条直线，则最多有1个交点；（即：1=$\frac{2×1}{2}$=1）
若平面内有3条直线，则最多有3个交点；（即：1+2=$\frac{3×2}{2}$=3）
若平面内有4条直线，则最多有6个交点；（即：1+2+3=$\frac{4×3}{2}$=6）
若平面内有5条直线，则最多有10个交点；（即：1+2+3+4=$\frac{5×4}{2}$=10）…
问：若平面内有n条直线，则最多有$\frac{n（n-1）}{2}$个交点；
（2）下面再来研究：若平面内的n条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为：$\frac{5×4}{2}$-$\frac{3×2}{2}$=10-3=7，其中$\frac{5×4}{2}$表示5条直线两两相交时的最多交点个数，$\frac{3×2}{2}$表示3条直线相互平行时减少的交点个数．
问：若平面内有8条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有4条是互相平行的，则这8条直线交点的个数最多为22；
（3）利用上述思想方法解决以下问题：
地面上有9条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有24位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警，请你画出符合要求的两种公路示意图．

Answer 1

分析 （1）根据题目给出的方法即可直接写出答案；
（2）先求出8条直线两两相交时的交点个数，再写出4条直线两两相交时的个数，作差即可得解；
（3）把9条公路看作是9条直线，先求出9条直线两两相交时的交点的个数，再根据差是12进行分析，即可得解．

解答 解：（1）$\frac{n（n-1）}{2}$；
（2）=$\frac{8×7}{2}$-$\frac{4×3}{2}$=28-6=22；
（3）把9条公路看作是9条直线，则9条公路两两相交时交点的个数为：$\frac{9×8}{2}$=36，
36-24=12，
①12=10+1+1，则可以看作，有5条直线两两互相平行，其余4条直线不平行，但每两条互相平行，如图：

②12=6+6，即有4条直线分别平行，另4条直线分别平行，但这两组直线不平行，如图：

点评 本题主要考查了学生的阅读理解能力，以及学生的自学能力，读懂题意是解题的关键，还考查了学生动手操作以及分类讨论的能力，是比较难的题目，要注意总结．