Question

15．一个正整数，由N个数字组成，若它的第一位数可以被1整除，它的前两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，…，一直到前N位数可以被N整除，则这样的数叫做“精巧数”．如：123的第一位数“1”可以被1整除，前两位数“12”可以被2整除，“123”可以被3整除，则123是一个“精巧数”．
（1）若四位数$\overline{123k}$是一个“精巧数”，求k的值；
（2）若一个三位“精巧数”$\overline{2ab}$各位数字之和为一个完全平方数，请求出所有满足条件的三位“精巧数”．

Answer 1

分析 （1）由四位数$\overline{123k}$是一个“精巧数”，可得1230+k是4的倍数；即可得1230+k=4n，继而可求得答案；
（2）由$\overline{2ab}$是“精巧数”，可得a为偶数，且2+a+b是3的倍数，且2+a+b＜30，又由$\overline{2ab}$各位数字之和为一个完全平方数，可得2+a+b=3²=9，继而求得答案．

解答 解：（1）∵四位数$\overline{123k}$是一个“精巧数”，
∴1230+k是4的倍数；
即1230+k=4n，
当n=308时，k=2；
当n=309时，k=6，
∴k=2或6；

（2）∵$\overline{2ab}$是“精巧数”，
∴a为偶数，且2+a+b是3的倍数，
∵a＜10，b＜10，
∴2+a+b＜30，
∵$\overline{2ab}$各位数字之和为一个完全平方数，
∴2+a+b=3²=9，
∴当a=0时，b=7，
当a=2时，b=5，
当a=4时，b=3，
当a=6时，b=1，
∴所有满足条件的三位“精巧数”有：207，225，243，261．

点评 此题考查了完全平方数的应用问题．注意掌握数的整除问题，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．