Question

如图，圆内接四边形ABCD的两条对角线交于点P．已知AB=BC，CD=

1

2

BD=1，设AD=x，用关于x的代数式表示PA与PC的积：PA•PC=

 

．

Answer 1

分析：根据相交弦定理，可得出PA•PC=BP•PD，那么可以转换成用x表示出BP，PD，那么可用相似三角形来求解，由题意可得：CD=1，BD=2，利用已知条件可以证明△ADB∽△PDC，根据相似三角形的性质得到CD：BD=PD：AD，而BD=2CD，这样就可以用x表示PD，BP，最后即可求出PA•PC与x的关系式．

解答：解：根据相交弦定理，可知PA•PC=BP•PD，
∵CD=1，BD=2
而AB=BC
∴

AB

=

BC

∴∠ADB=∠BDC
∵∠ABD=∠ACD
∴△ADB∽△PDC
∴CD：BD=PD：AD
而BD=2CD
∴PD=

1

2

x
∴BP=BD-PD=2-

1

2

x
∴PA•PC=BP•PD=（2-

1

2

x）×

1

2

x=-

1

4

x²+x．

点评：本题主要考查了相交弦定理，圆周角定理以及相似三角形的判定和性质等知识点，根据相似三角形的性质求出相关的线段是解题的关键．