Question

【题目】（12分）菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，∠MON+∠BCD=180°，∠MON绕点O旋转，射线OM交边BC于点E，射线ON交边DC于点F，连接EF．

（1）如图1，当∠ABC=90°时，△OEF的形状是 ；

（2）如图2，当∠ABC=60°时，请判断△OEF的形状，并说明理由；

（3）在（1）的条件下，将∠MON的顶点移到AO的中点O′处，∠MO′N绕点O′旋转，仍满足∠MO′N+∠BCD=180°，射线O′M交直线BC于点E，射线O′N交直线CD于点F，当BC=4，且时，直接写出线段CE的长．

Answer 1

【答案】（1）△OEF是等腰直角三角形；（2）△OEF是等边三角形；（3）或．

【解析】

试题分析：（1）先证四边形ABCD是正方形，得出∠EBO=∠FCO=45°，OB=OC，得出∠BOE=∠COF，进一步得到△BOE≌△COF，从而得到结论；

（2）过O点作OG⊥BC于G，作OH⊥CD于H，根据菱形的性质可得CA平分∠BCD，∠ABC+BCD=180°，求得OG=OH，∠BCD=120°，∠GOH=∠EOF=60°，进一步得出∠EOG=∠FOH，得出△EOG≌△FOH，从而得到结论；

（3）过O点作OG⊥BC于G，作OH⊥CD于H，先求得四边形O′GCH是正方形，从而求得GC=O′G=3，∠GO′H=90°，得到△EO′G ≌△FO′H全等，得到△O′EF是等腰直角三角形，根据已知求得等腰直角三角形的直角边O′E的长，然后根据勾股定理求得EG，即可求得CE的长．

试题解析：（1）△OEF是等腰直角三角形；如图1，∵菱形ABCD中，∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴OB=OC，∠BOC=90°，∠BCD=90°，∠EBO=∠FCO=45°，∴∠BOE+∠COE=90°，∵∠MON+∠BCD=180°，∴∠MON=90°，∴∠COF+∠COE=90°，∴∠BOE=∠COF，在△BOE与△COF中，∵∠BOE=∠COF，OB=OC，∠EBO=∠FCO，∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE=OF，∴△OEF是等腰直角三角形；

（2）△OEF是等边三角形；如图2，过O点作OG⊥BC于G，作OH⊥CD于H，∴∠OGE=∠OGC=∠OHC=90°，∵四边形ABCD是菱形，∴CA平分∠BCD，∠ABC+BCD=180°，∴OG=OH，∠BCD=180°﹣60°=120°，∵∠GOH+∠OGC+∠BCD+∠OHC=360°，∴∠GOH+∠BCD=180°，∴∠MON+∠BCD=180°，∴∠GOH=∠EOF=60°，∵∠GOH=∠GOF+∠FOH，∠EOF=∠GOF+∠EOG，∴∠EOG=∠FOH，在△EOG与△FOH中，∵∠EOG=∠FOH，OG=OH，∠EGO=∠FHO，∴△EOG≌△FOH（ASA），∴OE=OF，∴△OEF是等边三角形；

（3）如图3，∵菱形ABCD中，∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴，过O点作O′G⊥BC于G，作O′H⊥CD于H，∴∠O′GC=∠O′HC=∠BCD=90°，∴四边形O′GCH是矩形，∴O′G∥AB，O′H∥AD，∴，∵AB=BC=CD=AD=4，∴O′G=O′H=3，∴四边形O′GCH是正方形，∴GC=O′G=3，∠GO′H=90°，∵∠MO′N+∠BCD=180°，∴∠EO′F=90°，∴∠EO′F=∠GO′H=90°，∵∠GO′H=∠GO′F+∠FO′H，∠EO′F=∠GO′F+∠EO′G，∴∠EO′G=∠FO′H，在△EO′G与△FO′H中，∵∠EO′G=∠FO′H，O′G= O′H，∠EG O′=∠FH O′，∴△EO′G≌△FO′H（ASA），∴O′E=O′F，∴△O′EF是等腰直角三角形；∵S正方形ABCD=4×4=16，，∴S△O′EF=18，∵S△O′EF=，∴O′E=6，在RT△O′EG中，EG===，∴CE=CG+EG=．根据对称性可知，当∠M′ON′旋转到如图所示位置时，CE′=E′G﹣CG=．

综上可得，线段CE的长为或．