Question

如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且A为DO中点，∠E=30°．
求证：BD是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】分析：连接OB，由圆周角定理可知∠AOB=2∠E=60°，由OB=OA，可知△AOB是等边三角形，故∠BAO=60°，AB=OA，再由A为DO的中点可知，AD=OA，故AB=AD，由三角形外角的性质可知∠D=∠ABD=30°，故可得出∠OBD=90°，故可得出结论．
解答：证明：连接OB，
∵∠E=30°，
∴∠AOB=2∠E=60°，
∵OB=OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BAO=60°，AB=OA，
∵A为DO的中点，
∴AD=OA，
∴AB=AD=OA，
∴∠D=∠ABD，
∵∠BAO是△ABD的外角，
∴∠D=∠ABD=30°，
∴∠OBD=180°-∠D-∠AOB=180°-30°-30°=90°，
∴OB⊥BD，即BD是⊙O的切线．
点评：本题考查的是切线的判定，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．