Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E；
（1）求证：BE=CE；
（2）若以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，⊙O的半径为r，求△ABC的面积；
（3）若EC=4，BD=4

3

，求⊙O的半径OC的长．

Answer 1

分析：（1）连接CD，由圆周角定理知CD⊥AB；由切线长定理知DE=DC，则∠EDC=∠ECD，此时发现∠EBD和∠EDB都是等角的余角，所以它们相等，由此可证得BE=DE；
（2）若四边形ODCE是正方形，那么DE、BE、CE、OC的长都和半径相等，即AC=BC=2r，已知了直角三角形的两条直角边，即可根据面积公式求得其面积；
（3）已知了BC（即2EC）、BD的长，可在Rt△BCD中求出∠BCD的度数和CD的长，进而可在Rt△ACD中求出AC的长，也就得到了⊙O的半径．
（也可设出半径和AD的长，利用切割线定理及勾股定理列方程组求解．）

解答：（1）证明：连接CD，由AC是直径知CD⊥AB；
DE、CE都是切线，所以DE=CE，∠EDC=∠ECD；
又∠B+∠ECD=90°，∠BDE+∠EDC=90°；
所以∠B=∠BDE，所以BE=DE，从而BE=CE；

（2）解：连接OD，
当以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，DE=EC=OC=OD=r；
从而BE=r，即△ABC是一个等腰直角三角形；
AC=AB=2r，S_△ABC=2r²；

（3）解：若EC=4，BD=4

3

，则BC=8；
在Rt△BDC中，cos∠CBD=

BD

BC

=

3

2

；所以∠CBD=30°；
在Rt△ABC中，

AC

BC

=tan30°，即AC=BCtan30°=8×

3

3

=

8 3

3

，OC=

AC

2

=

4 3

3

；
另解：设OC=r，AD=x；由EC=4，BD=4

3

得BC=8，DC=4；
则：

16+x2=4r2 64+4r2=(4 3 +x)2

，解得

x= 4 3 3 r= 4 3 3

；即OC=

4 3

3

．

点评：此题主要考查了圆周角定理、正方形的性质、切线长定理及解直角三角形等知识的综合应用能力．