Question

12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y=$\frac{4}{5}$x²+bx+c的图象抛物线经过A，C两点．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；
（3）抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）延长EC至E′，使E′C=EC，延长DA至D′，使D′A=DA，连接D′E′，交x轴于F点，交y轴于G点，则有：GD=GD′，EF=E′F，从而得：（DG+GF+EF+ED）的最小值=D′E′+DE，求出D′E′与DE的长即可得到答案．
（3）根据三角形的面积，首先求得点P到OD的距离，然后过点O作OF⊥OD，使OF等于点P到OD的距离，过点F作FG∥OD，求得FG的解析式，然后再求直线FG与抛物线交点的坐标即可得到点P的坐标．

解答 方法一：
解：（1）将A（0，4）、C（5，0）代入二次函数y=$\frac{4}{5}$x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{20+5b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{24}{5}}\\{c=4}\end{array}\right.$．
故二次函数的表达式y=$\frac{4}{5}$x²-$\frac{24}{5}$x+4；

（2）如图：
延长EC至E′，使E′C=EC，延长DA至D′，使D′A=DA，连接D′E′，交x轴于F点，交y轴于G点，
GD=GD′EF=E′F，
（DG+GF+EF+ED）_最小=D′E′+DE，
由E点坐标为（5，2），BC的中点；D（4，4），直角的角平分线上的点；得D′（-4，4），E（5，-2）．
由勾股定理，得
DE=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，D′E′=$\sqrt{（5+4）^{2}+（4+2）^{2}}$=$3\sqrt{13}$，
（DG+GF+EF+ED）_最小=D′E′+DE=$3\sqrt{13}$+$\sqrt{5}$；

（3）如下图：
OD=$\sqrt{A{O}^{2}+A{D}^{2}}=4\sqrt{2}$．
∵S△ODP的面积=12，
∴点P到OD的距离=$\frac{2{S}_{△OPD}}{OD}$=3$\sqrt{2}$．
过点O作OF⊥OD，取OF=3$\sqrt{2}$，过点F作直线FG∥OD，交抛物线与点P₁，P₂，

在Rt△OGF中，OG=$\sqrt{O{F}^{2}+F{G}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}}$=6，
∴直线GF的解析式为y=x-6．
将y=x-6代入y=$\frac{4}{5}{x}^{2}-\frac{24}{5}x+4$得：x-6=$\frac{4}{5}{x}^{2}-\frac{24}{5}x+4$，
解得：${x}_{1}=\frac{29+\sqrt{41}}{8}$，${x}_{2}=\frac{29-\sqrt{41}}{8}$，
将x₁、x₂的值代入y=x-6得：y₁=$\frac{-19+\sqrt{41}}{8}$，y₂=$\frac{-19-\sqrt{41}}{8}$
∴点P₁（$\frac{29-\sqrt{41}}{8}$，$\frac{-19-\sqrt{41}}{8}$），P₂（$\frac{29+\sqrt{41}}{8}$，$\frac{-19+\sqrt{41}}{8}$）
如下图所示：

过点O作OF⊥OD，取OF=3$\sqrt{2}$，过点F作直线FG交抛物线与P₃，P₄，
在Rt△PFO中，OG=$\sqrt{O{F}^{2}+G{F}^{2}}$=6
∴直线FG的解析式为y=x+6，
将y=x+6代入y=$\frac{4}{5}{x}^{2}-\frac{24}{5}x+4$得：x+6=$\frac{4}{5}{x}^{2}-\frac{24}{5}x+4$
解得：${x}_{1}=\frac{29+\sqrt{1001}}{8}$，${x}_{2}=\frac{29-\sqrt{1001}}{8}$
y₁=x₁+6=$\frac{77+\sqrt{1001}}{8}$，y₂=x₂+6=$\frac{77-\sqrt{1001}}{9}$
∴p₃（$\frac{29-\sqrt{1001}}{8}$，$\frac{77-\sqrt{1001}}{8}$），p₄（$\frac{29+\sqrt{1001}}{8}$，$\frac{77+\sqrt{1001}}{8}$）
综上所述：点P的坐标为：（$\frac{29-\sqrt{41}}{8}$，$\frac{-19-\sqrt{41}}{8}$）或（$\frac{29+\sqrt{41}}{8}$，$\frac{-19+\sqrt{41}}{8}$）或（$\frac{29-\sqrt{1001}}{8}$，$\frac{77-\sqrt{1001}}{8}$）或（$\frac{29+\sqrt{1001}}{8}$，$\frac{77+\sqrt{1001}}{8}$）．

方法二：
（1）略．
（2）作D点关于y轴的对称点D′，E点关于x轴的对称点E′，
连接D′E′，分别交y轴，x轴于G，F，
∵∠AOC的平分线交AB于点D，
∴D（4，4），D′（-4，4），
∵E为BC的中点，∴E（5，2），∴E′（5，-2）
∴D′E′=$\sqrt{（5+4）^{2}+（-2-4）^{2}}=3\sqrt{13}$，
∵DE=$\sqrt{（5-4）^{2}+（2-4）^{2}}=\sqrt{5}$，
∴（DG+GF+EF+ED）_最小=D′E′+DE=$3\sqrt{13}$+$\sqrt{5}$；

（3）作PH⊥x轴，交直线OD于点H，
设P（5t，20t²-24t+4），H（5t，5t），
∴S_△ODP=$\frac{1}{2}$|（D_X-O_X）（P_Y-H_Y）|=12，
∴|20t²-29t+4|=6，
①20t²-29t+4=6，∴5t=$\frac{29+\sqrt{1001}}{8}$或$\frac{29-\sqrt{1001}}{8}$，
②20t²-29t+4=-6，∴5t=$\frac{29+\sqrt{41}}{8}$或$\frac{29-\sqrt{41}}{8}$，
综上所述，满足题意的点P有四个：（$\frac{29-\sqrt{41}}{8}$，$\frac{-19-\sqrt{41}}{8}$）或（$\frac{29+\sqrt{41}}{8}$，$\frac{-19+\sqrt{41}}{8}$）或（$\frac{29-\sqrt{1001}}{8}$，$\frac{77-\sqrt{1001}}{8}$）或（$\frac{29+\sqrt{1001}}{8}$，$\frac{77+\sqrt{1001}}{8}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，求得点P到OD的距离是解题的关键，解得此类问题通常可以将函数问题转化为方程或方程组的问题．