【题目】阅读材料:若关于x的一元二次方程的根均为整数,称该方程为“快乐方程”. 我们发现任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数. 规定为该“快乐方程”的“快乐数”. 若有另一个“快乐方程”的“快乐数”为且满足,则称互为“乐呵数”. 例如:“快乐方程”的两根均为整数,其判别式,其“快乐数”
(1)“快乐方程”的“快乐数”为 ,若关于x的一元二次方程(m为整数,且5<m<22)是“快乐方程”,求其“快乐数”;
(2)若关于x的一元二次方程与(m、n均为整数)都是“快乐方程”,且其“快乐数”互为“乐呵数”,求n的值.
【答案】(1)-1 (2)0或1或4
【解析】
(1)根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”,
,根据“快乐方程”的定义,得到为完全平方数,根据5<m<22,得到49<4m+29<117,即可求出4m+29=64或81或100,根据m为整数,即可求出m的值,即可求其“快乐数”;
(2)关于x的一元二次方程是“快乐方程”,即可求出的值,
求出方程的“快乐数”,根据“乐呵数”的定义即可求出n的值.
解:(1)
由题得
∵已知方程为“快乐方程”
∴为完全平方数
又∵5<m<22 则49<4m+29<117
∴ 4m+29=64或81或100
∵m为整数
∴m=13
∴原方程为,其根为,,符合题意.
其“快乐数”为:
(2)由题得方程的
∵方程是“快乐方程”
∴完全平方数.
设(k为整数),则
又与同奇偶,且m、k为整数,则
span>或或或
解得:或
∴方程为或,其根均为整数,
它们的“快乐数”都为 .
由题得方程可变形为,解得,,
∵n 为整数,
∴方程为“快乐方程”,其“快乐数”为
又由题方程、的“快乐数”互为“乐呵数”,可得
(i)当时,, 解得,,
(ii)当时,, 解得,
综上所述,n的值为0或1或4.
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【题目】将函数y=x+b(b为常数)的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后,所得的折线是函数y=|x+b|(b为常数)的图象
(1)当b=0时,在同一直角坐标系中分别画出函数与y=|x+b|的图象,并利用这两个图象回答:x取什么值时,比|x|大?
(2)若函数y=|x+b|(b为常数)的图象在直线y=1下方的点的横坐标x满足0<x<3,直接写出b的取值范围
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【题目】如图,A(1,y1)、B(﹣2,y2)是双曲线y=上两点,且y1+y2=1.
(1)求双曲线y=的解析式;
(2)若点C的坐标为(0,﹣1)时,求△ABC的面积.
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【题目】在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4只,某学习小组做摸球试验,将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回袋中,不断重复.如表是活动进行中的一组统计数据:
摸球的次数n | 100 | 150 | 200 | 500 | 800 | 1 000 |
摸到白球的次数m | 28 | 34 | 48 | 130 | 197 | 251 |
摸到白球的频率 | 0.28 | 0.23 | 0.24 | 0.26 | 0.246 | 0.251 |
(1)请估计:当n很大时,摸到白球的频率将会接近 (精确到0.01);
(2)试估算口袋中白种颜色的球有多少只?
(3)请根据估算的结果思考从口袋中先摸出一球,不放回,再摸出一球,这两只球颜色不同的概率是多少?画出树状图(或列表)表示所有可能的结果,并计算概率.
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【题目】周末秋高气爽,阳光明媚,小赵带爷爷到滨江路去散步. 祖孙俩在长度为600米的、路段上往返行走. 他们从地出发,小赵陪爷爷走了两圈一同回到地后,就开始匀速跑步,爷爷继续匀速散步. 如图反映了他们距离地的路程(米)与小赵跑步的时间(分钟)的部分关系图(他们各自到达地或地后立即调头,调头转身时间忽略不计). 则小赵跑步过程中祖孙俩第四次与第五次相遇地点间距为_______米.
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【题目】如图,点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点,过点P分别作PE⊥BC于点E,PF⊥DC于点F,连接AP并延长,交射线BC于点H,交射线DC于点M,连接EF交AH于点G,当点P在BD上运动时(不包括B、D两点),以下结论中:①MF=MC;②AH⊥EF;③AP2=PMPH;④EF的最小值是.其中正确结论_____.(填写序号)
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,下列结论中:
①abc<0;②9a﹣3b+c<0;③b2﹣4ac>0;④a>b,
正确的结论是_____(只填序号)
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【题目】有四张正面分别标有数字2,1,﹣3,﹣4的不透明卡片,它们除数字外其余全部相同,现将它们背面朝上,洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回,将该卡片上的数字记为m,再随机地摸取一张,将卡片上的数字记为n.
(1)请画出树状图并写出(m,n)所有可能的结果;
(2)求所选出的m,n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率.
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【题目】某公司欲招聘一名公务人员,对甲、乙两位应试者进行了面试和笔试,他们的成绩(百分制)如表所示:
应试者 | 面试 | 笔试 |
甲 | 86 | 90 |
乙 | 92 | 83 |
(1)如果公司认为面试和笔试同等重要,从他们的成绩看,谁将被录取?
(2)如果公司认为作为公务人员面试成绩应该比笔试成绩更重要,并分别赋予它们6和4的权,计算甲、乙两人各自的平均成绩,谁将被录取?
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