Question

一只袋子里装有红球和绿球，第一次从中摸出是红球和绿球的概率均为

1

2

，如果上一次摸出是红球，则下一次摸出是红球的概率为

1

3

，绿球的概率为

2

3

；如果上一次摸出的是绿球，则下一次摸出的是红球的概率为

2

5

，绿球的概率为

3

5

，记P_n表示第n次摸出的是红球的概率，
（1）P₁=

1

2

；P₂=

11

30

；
（2）试写出P_n与P_n-1之间的关系式；

1

3

P_n-1+

2

5

（1-P_n-1）

．

Answer 1

分析：（1）由一只袋子里装有红球和绿球，第一次从中摸出是红球和绿球的概率均为

1

2

，即可求得P₁的值，又由如果上一次摸出是红球，则下一次摸出是红球的概率为

1

3

，绿球的概率为

2

3

；如果上一次摸出的是绿球，则下一次摸出的是红球的概率为

2

5

，绿球的概率为

3

5

，即可得P₂=

1

3

P₁+

2

5

（1-P₁），继而求得P₂的值；
（2）根据题意可得规律为：P_n=

1

3

P_n-1+

2

5

（1-P_n-1）．

解答：解：（1）∵第一次从中摸出是红球和绿球的概率均为

1

2

，
∴P₁=

1

2

；------（1分）
∵若第一次摸出是红球，则此时摸出是红球的概率为

1

3

，这种情况下的概率为：

1

3

×P₁=

1

3

×

1

2

，
若第一次摸出是绿球，则此时摸出是红球的概率为

2

5

，这种情况下的概率为：

2

5

×（1-P₁），
∴P₂=

1

3

P₁+

2

5

（1-P₁）=

1

3

×

1

2

+

2

5

×

1

2

=

11

30

；----（3分）

（2）根据题意得：P_n=

1

3

P_n-1+

2

5

（1-P_n-1）．--------（7分）
故答案为：（1）

1

2

，

11

30

；（2）

1

3

P_n-1+

2

5

（1-P_n-1）．

点评：此题考查了概率公式的应用．此题属于规律性题目，难度比较大，解题的关键是根据题意得到规律：P_n=

1

3

P_n-1+

2

5

（1-P_n-1）．