Question

8．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，BC=$\frac{21}{2}$，AD=$\frac{3}{2}$，CD=12，过AB的中点E作AB的垂线交BC的延长线于F．
（1）求BF的长；
（2）如图2，以点C为原点，建立平面直角坐标系，请通过计算判断，过E点的反比例函数图象与直线AB是否还有另一个交点？

Answer 1

分析 （1）作AG⊥BC于G，在直角△AG中利用勾股定理求得AB的长，然后证明△ABG∽△FBE，利用相似三角形的性质求解；
（2）作EH⊥BC于H，求得直线AB的解析式，然后解反比例函数和一次函数的解析式组成的方程组求解．

解答 解：（1）作AG⊥BC于G，则AG=CD=12，BG=BC-AD=9，
在Rt△ABG中，AB=$\sqrt{A{G}^{2}+B{G}^{2}}$=15，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{15}{2}$．
∵∠ABG=∠FBE，∠AGB=∠FEB，
∴△ABG∽△FBE，
∴$\frac{BF}{BE}$=$\frac{AB}{BG}$，
得BF=$\frac{AB•BE}{BG}$=$\frac{25}{2}$．

（2）作EH⊥BC于H，则EH=6，
∴CH=6，
点E的坐标是（-6，6），
点B的坐标是（-$\frac{21}{2}$，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}k+b=12}\\{-\frac{21}{2}k+b=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=14}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+14．
设反比例函数的解析式为y=$\frac{{k}_{1}}{x}$，
将E点坐标代入得，k₁=-36．
∴过E点的反比例函数解析式为y=-$\frac{36}{x}$．
由-$\frac{36}{x}$=$\frac{4}{3}$x+14，
解得：x₁=-6，x₂=-$\frac{9}{2}$．
∴过E点的反比例函数图象与直线AB还有另一个交点．

点评 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及相似三角形的判定与性质，正确利用相似三角形的性质求得BF的长是关键．