Question

【题目】如图，菱形中，对角线、相交于点，，，动点从点出发，沿线段以的速度向点运动，同时动点从点出发，沿线段以支向点运动，当其中一个动点停止时另一个动点也随之停止，设运动时间为（单位：）（），以点为圆心，长为半径的⊙M与射线、线段分别交于点、，连接．

（1）求的长（用含有的代数式表示），并求出的取值范围；

（2）当为何值时，线段与⊙M相切？

（3）若⊙M与线段只有一个公共点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（１）BF=t（0＜t≤8）；（２）t=；（３）0＜t≤或＜t＜8

【解析】

（1）根据MB=MF，AB=AD，推出MF∥AD，由平行线分线段成比例可得即可求出BF的长；

（2）当线段EN与⊙M相切时，易知△BEN∽△BOA，再根据对应边成比例求解即可；

（3）根据画图可知，当0＜t≤时，⊙M与线段EN只有一个公共点，当F与N重合后⊙M与线段EN只有一个公共点，求出F与N重合时t的值即可．

（1）连接MF，如图，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，AC⊥BD，OA=OC=6，OB=OD=8，

在Rt△AOB中，，

∵MB=MF，AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB=∠MFB，

∴MF∥AD，

∴,

∴,

∴BF=t（0＜t≤8）.

（2）当线段EN与⊙M相切时，易知△BEN∽△BOA，

∴，

∴，

∴t=，

∴t=s时，线段EN与⊙M相切.

（3）①根据题意可以知道，当0＜t≤时，⊙M与线段EN只有一个公共点.

②当F与N重合时，则有t+2t=16，计算得出t=，

根据图像可以知道，＜t＜8时，⊙M与线段EN只有一个公共点.

综上所述，当0＜t≤或＜t＜8时，⊙M与线段EN只有一个公共点．