Question

13．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交DE于P，若AE=AP
（1）求证：△ABE≌△ADP；
（2）求证：BE⊥DE．

Answer 1

分析 （1）根据两角夹边对应相等的两个三角形全等即可判定．
（2）由△ABE≌△ADP得∠APD=∠AEB，再由∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，可以证明∠BEP=∠PAE=90°由此即可证明．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AE⊥AP，
∴∠EAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
在△ABE和△ADP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AP}\\{∠EAB=∠PAD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADP；
（2）证明：∵△ABE≌△ADP，
∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，∠AEP=∠APE=45°
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴BE⊥DE；

点评 本题考查正方形性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，熟练应用全等三角形性质，属于中考常考题型．