Question

【题目】已知⊙O半径为1，若点P在⊙O外且⊙O上存在点A、B使得∠APB＝60°，则称点P是⊙O的领域点．

（1）对以下情况，用三角板或量角器尝试画图，并判断点P是否是⊙O的领域点（在横线上填“是”或“不是”）．

①当OP＝1.2时， 点P　 　⊙O的领域点

②当OP＝2时， 点P　 　⊙O的领域点

③当OP＝3时， 点P　 　⊙O的领域点

（2）若点P是⊙O的领域点，则OP的取值范围是　 　；

（3）如图，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，设直线y＝﹣x+b（b＞0）与x轴、y轴分别相交于点M、N．

①若线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点，求b的值；

②若线段MN上存在⊙O的领域点，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①是；②是；③不是；（2）1＜OP≤2；（3）①b＝2；②＜b

【解析】

（1）根据点P是⊙O的领域点的定义即可判断．

（2）如图1中，由题可知：若点P刚好是⊙O的领域点，则点P到⊙O的两条切线PA与PB之间的夹角为60°，求出OP的长即可．

（3）①如图2中，当点O到直线y＝﹣x+b的距离OP＝2时，线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点，求出b的值即可．

②当直线与⊙O相切时，设切点为E，求出b的值即可判断．

解：（1）观察图形可知图①②中，点P是⊙O的领域点，图③中点P不是⊙O的领域点．

故答案为是，是，不是；

（2）由题可知：若点P刚好是⊙O的领域点，则点P到⊙O的两条切线PA与PB之间的夹角为60°，如图1，

∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，

∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠APO＝∠BPO＝∠APB＝30°．

∴OP＝2OA．

设⊙O的半径为r，则点P刚好是⊙O的领域点时OP＝2r．

所以若点P是⊙O的领域点，则需点满足1＜OP≤2；

（3）①如图2中，当点O到直线y＝﹣x+b的距离OP＝2时，线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点，

∵M（b，0），N（0，b），

∴OM＝ON，

∵OP⊥MN，

∴PM＝PN，

∴OP＝PM＝PN＝2，

∴OM＝ON＝2，

∴b＝2，

∴当线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点时 b＝2．

②当直线与⊙O相切时，设切点为E，

∵OE＝EN′＝EM′＝1，

∴ON′＝OM′＝，

观察图象可知，当线段MN上存在⊙O的领域点，b的取值范围为＜b．