Question

如图，已知AB为⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，过A作AD∥OC交⊙O于点D，连接CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD=2，直径AB=6，求线段BC的长．

Answer 1

分析：（1）连接OD，要证明CD为圆O的切线，只要证明∠CDB=90°即可；
（2）连接BD，根据已知求得△ADB∽△OBC再根据相似比即可求得BC的值．

解答：（1）证明：连接OD，如图所示：
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD．
∵AD∥CO，
∴∠COD=∠ODA，∠COB=∠OAD．
∴∠COD=∠COB．
∵OD=OB，OC=OC，
∴△ODC≌△OBC．
∴∠ODC=∠OBC．
∵CB是圆O的切线且OB为半径，
∴∠CBO=90°．
∴∠CDO=90°．
∴OD⊥CD．
又∵CD经过半径OD的外端点D，
∴CD为圆O的切线．

（2）解：连接BD，CO，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°．
在直角△ADB中，BD=

AB2-AD2

=

62-22

=4

2

，
∵∠ADB=∠OBC=90°，且∠COB=∠BAD，
∴△ADB∽△OBC．（8分）
∴

AD

OB

=

DB

BC

，即

2

3

=

4 2

BC

．
∴BC=6

2

．

点评：本题利用了等边对等角，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，直径对的圆周角是直角，勾股定理，相似三角形的判定和性质求解．