Question

【题目】已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．

（1）求c1的解析式；

（2）若直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值；

（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y=n．试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；

（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①4；②3；③3＜n＜4或n＜3；（4）（﹣5，0）或（3﹣，0）或（3+，0）或（﹣1，0）．

【解析】

试题分析：（1）设抛物线c1的解析式为，把D（0，3）代入即可得到结论；

（2）解方程组得到，由于直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，于是得到△=9﹣4m+12=0，即可得到结论；

（3）根据轴对称的性质得到抛物线c2的解析式为：，根据图象即可刚刚结论；

（4）求得B（3，0），得到OB=3，根据勾股定理得到AB的长，①当AP=AB，②当AB=BP=时，③当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，于是得到结论．

试题解析：（1）∵抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），∴设抛物线c1的解析式为，把D（0，3）代入得3=a+4，∴a=﹣1，∴抛物线c1的解析式为：，即；

（2）解得，∵直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，∴△=9﹣4m+12=0，∴m=；

（3）∵抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，∴抛物线c2的顶点坐标为（1，4），与y轴的交点为（0，3），∴抛物线c2的解析式为：，∴①当直线l2过抛物线c1的顶点（﹣1，4）和抛物线记作c2的顶点（1，4）时，即n=4时，l2与c1和c2共有两个交点；

②当直线l2过D（0，3）时，即n=3时，l2与c1和c2共有三个交点；

③当3＜n＜4或n＜3时，l2与c1和c2共有四个交点；

（4）如图，∵若c2与x轴正半轴交于B，∴B（3，0），∴OB=3，∴AB= =：

①当AP=AB=时，PB=8，∴P1（﹣5，0）；

②当AB=BP=时，P2（3﹣，0）或P3（3+，0）；

③当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，∴PA=PB=4，∴P4（﹣1，0）．

综上所述，点P的坐标为（﹣5，0）或（3﹣，0）或（3+，0）或（﹣1，0）时，△PAB为等腰三角形．