解:(1)把A(-1,0)和B(3,0)代入y=x
2+bx+c得:
解得
,
所以b=-2,c=-3.
(2)由(1)可得:此二次函数的解析式为:y=x
2-2x-3=(x-1)
2-4,
∴顶点坐标为(1,-4),C(0,-3),
∴图象如图所示;
(3)点A关于对称轴x=1的对称点是点B,连接BC交对称轴于点D,则点D即为所求,
设直线BC的解析式为y=kx+b,
把B(3,0)、C(0,-3)代入解析式得
,
解得:
,
∴直线BC的解析式为:y=x-3,
∴当x=1时,y-2,
∴D点的坐标为(1,-2).
分析:(1)由二次函数y=x
2+bx+c的图象经过A(-1,0)和B(3,0)两点,利用待定系数法即可求得b、c的值;
(2)由(1)可得此二次函数的解析式为:y=x
2-2x-3,然后即可求得函数的顶点坐标,即可画出图象;
(3)由点A关于对称轴x=1的对称点是点B,连接BC交对称轴于点D,则可得点D即为所求,然后设直线BC的解析式为y=kx+b,利用待定系数法即可求得直线BC的解析式,则可求得点D的坐标.
点评:此题考查了待定系数法求函数的解析式,二次函数图象的画法以及距离之和最短问题.此题综合性较强,难度适中,解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用.注意解决距离之和最短问题是找到所要求的点的位置.