Question

正方形ABCD中，E是CB延长线上一点，G是AE上一点，且AG=AD，AF⊥AE，交GD于F，GD交AB于H，求证：AF+BE=AE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：首先在BC上截取BM=AE，然后证得△AGF≌△BAM，由全等三角形的对应角相等、同角的余角相等，即可求得∠EAM=∠AMB，继而证得AF+BE=AE．

解答：证明：在BC上截取BM=AF，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABM=90°，
∵AG=AD，AB=AD，
∴AG=AB，
∵AE⊥AF，
∴∠FAG=∠ABM=90°，
在△AGF和△BAM中，
∵

AG=AB ∠GAF=∠ABM AF=BM

∴△AGF≌△BAM，
∴∠AMB=∠AFG，∠BAM=∠AGF，
∵AG=AD，
∴∠AGD=∠ADG，
∴∠BAM=∠ADG，
∵∠BAD=90°，
∴∠FAB+∠BAE=∠BAF+∠FAD=90°，
∴∠EAB=∠FAD，
∴∠AFG=∠FAD+∠ADG=∠EAB+∠BAM=∠EAM，
∴∠EAM=∠AMB，
∴AE=EM=BE+BM=BE+AF．
即AF+BE=AE．

点评：此题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．