Question

9．如图，四边形AOBC是平行四边形，A（-2，0），B（4，2$\sqrt{3}$），反比例函数y=$\frac{n}{x}$的图象经过点C．
（1）求n的值和直线AC的解析式；
（2）反比例函数在第一象限内的图象上是否存在点P，使△PAC的面积等于△OCA的面积？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据四边形AOBC是平行四边形，A（-2，0），B（4，2$\sqrt{3}$）求出点C的坐标，再代入反比例函数的解析式即可得出n的值，用待定系数法求出直线AC的解析式即可；
（2）根据四边形AOBC是平行四边形可知，直线OB与双曲线的交点为P₁点，再求出直线AC与y轴交点Q的坐标，把直线AC沿y轴向上平移OQ的单位，此时直线与双曲线的交点即为P₂点．

解答 解：（1）∵四边形AOBC是平行四边形，A（-2，0），B（4，2$\sqrt{3}$），
∴C（2，2$\sqrt{3}$）．
∵反比例函数y=$\frac{n}{x}$的图象经过点C，
∴n=2×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$；
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则$\left\{\begin{array}{l}-2k+b=0\\ 2k+b=2\sqrt{3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ b=\sqrt{3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\sqrt{3}$；

（2）存在．
∵四边形AOBC是平行四边形，
∴直线OB与双曲线的交点为P₁点．
∵由（1）知直线AC的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\sqrt{3}$，AC∥OB，
∴直线OB的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{3}}{2}x\\ y=\frac{4\sqrt{3}}{x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=2\sqrt{2}\\ y=\sqrt{6}\end{array}\right.$，
∴P₁（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$）；
∵直线AC的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\sqrt{3}$，
∴Q（0，$\sqrt{3}$），
∴将直线AC沿y轴向上平移$\sqrt{3}$个单位后的直线解析式为y=y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+2\sqrt{3}\\ y=\frac{4\sqrt{3}}{x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=-2+2\sqrt{3}\\ y=3+\sqrt{3}\end{array}\right.$，
∴P₂（-2+2$\sqrt{3}$，3+$\sqrt{3}$）．
综上所述，P₁（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$），P₂（-2+2$\sqrt{3}$，3+$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式等知识，在解答（2）时要注意一次函数的图象几何变换的应用．