Question

12．在如图所示的直角坐标系xOy中，AC⊥OB，OA⊥AB，OB=3，点C是OB上靠近O点的三等分点，若反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象（图中未画出）与△OAB有两个交点，则k的取值范围是0＜k＜$\frac{9}{8}\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先根据射影定理求得点A的坐标，再根据点A、B的坐标求得直线AB 的解析式，并与反比例函数解析式组成方程组，变形得到关于x的一元二次方程，根据判别式大于0求得k的取值范围，进而得出结论．

解答 解：∵AC⊥OB，OA⊥AB
∴AC²=CO×CB
∵OB=3，点C是OB上靠近O点的三等分点
∴OC=1，BC=2，B（3，0）
∴AC=$\sqrt{1×2}$=$\sqrt{2}$
∴A（1，$\sqrt{2}$）
设直线AB解析式为y=kx+b，则
$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}=k+b}\\{0=3k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{b=\frac{3\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$
∴直线AB为y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
将方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{3\sqrt{2}}{2}}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$消去y可得，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{k}{x}$
整理得，x²-3x+$\sqrt{2}$k=0
根据题意得，△=9-4$\sqrt{2}$k＞0
解得k＜$\frac{9}{8}\sqrt{2}$
又∵k＞0
∴k的取值范围是：0＜k＜$\frac{9}{8}\sqrt{2}$
故答案为：0＜k＜$\frac{9}{8}\sqrt{2}$

点评 本题主要考查了反比例函数的性质以及待定系数法求一次函数解析式，解决问题的关键是根据把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，若方程组无解，则两者无交点．