Question

如图，正比例函数y=ax与反比例函数y=

b

x

在同一坐标系中交于点A、B，且直线AB与x轴的夹角是60°，OA=2．
（1）求正比例函数与反比例函数的解析式；
（2）若把直线AB绕原点逆时针旋转30°，请直接写出旋转后的直线与反比例函数图象的交点坐标．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：（1）作AC⊥x轴于点C，在Rt△AOC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到OC=

1

2

OA=1，AC=

3

OC=

3

，则A点坐标为（-1，

3

），把A（-1，

3

）分别代入y=ax与y=

b

x

求出a和b的值，从而得到正比例函数的解析式为y=-

3

x，反比例函数解析式为y=-

3

x

；
（2）设直线AB绕原点逆时针旋转30°得到直线A′B′，由于直线AB与x轴的夹角为60°，得到直线A′B′与x轴的夹角为30°，于是可判断直线AB与直线A′B′关于直线y=-x对称，根据关于直线y=-x对称的点的坐标特征得到点A的对应点A′的坐标为（-

3

，1），则点A′关于原点的对称点的坐标为（

3

，-1），然后根据反比例函数图象与正比例函数图象得到旋转后的直线与反比例函数图象的交点坐标为（-

3

，1）、（

3

，-1）．

解答：解：（1）作AC⊥x轴于点C，如图，
在Rt△AOC中，
∵OA=2，∠AOC=60°，
∴∠OAC=30°，
∴OC=

1

2

OA=1，AC=

3

OC=

3

，
∴A点坐标为（-1，

3

），
把A（-1，

3

）分别代入y=ax与y=

b

x

得a=-

3

，b=-

3

，
∴正比例函数的解析式为y=-

3

x，反比例函数解析式为y=-

3

x

；
（2）设直线AB绕原点逆时针旋转30°得到直线A′B′，
而直线AB与x轴的夹角为60°，
∴直线A′B′与x轴的夹角为30°，
∴直线AB与直线A′B′关于直线y=-x对称，
∴点A的对应点A′的坐标为（-

3

，1），
而点A′关于原点的对称点的坐标为（

3

，-1），
∴旋转后的直线与反比例函数图象的交点坐标为（-

3

，1）、（

3

，-1）．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及对称的性质．