Question

9．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线L₁：y=$\frac{3}{5}$x²+bx-c经过点A（-8，0）和C（0，6），与x轴交于另一点B，直线y=-$\frac{3}{4}$x+3与两坐标轴分别交于D，E两点．
（1）求抛物线L₁的函数解析式；
（2）将抛物线L₁向右平移m（m＞0）个单位，与x轴的两个交点分别记为A₁，B₁，试探究：
①当以A₁B₁为直径的圆与直线DE相切时，求m的值；
②若P为直线DE上一动点，当以P，A₁，B₁为顶点所作的直角三角形有四个时，则m的取值范围是多少？（只需直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）将A、C两点的坐标代入即可求出抛物线的解析式．
（2）①由于平移，所以AB=A₁B₁，而由（1）可求出AB的长度．设以A₁B₁为直径的圆的圆心为M，过M作MF⊥直线DE，证明△DOE∽△DMF，利用相似三角形的性质即可求出DM的长度．求出AB的中点坐标，以及此时M的坐标，根据平移的性质即可求出m的值．
②若P为直线DE上一动点，当以P，A₁，B₁为顶点所作的直角三角形有四个时，此时直线DE与⊙M相交，由①可知即可求出m的范围．

解答 解：（1）将A（-8，0）和C（0，6）代入y=$\frac{3}{5}$x²+bx-c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6=-c}\\{0=\frac{3}{5}×64-8b-c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{111}{20}}\\{c=-6}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{3}{5}$x²+$\frac{111}{20}$x+6．

（2）①设以A₁B₁为直径的圆的圆心为M，过点M作MF⊥DE于点F，如图所示，

令y=0代入y=$\frac{3}{5}$x²+$\frac{111}{20}$x+6，
∴解得：x=-8或x=-$\frac{5}{4}$，
∴A（-8，0），B（-$\frac{5}{4}$，0），
∴AB=A₁B₁=$\frac{27}{4}$，AB的中点坐标为：（-$\frac{37}{8}$，0）
当点M在点D的左侧时，
以A₁B₁为直径的圆与直线DE相切时，
此时MF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{27}{8}$
令x=0和y=0代入y=-$\frac{3}{4}$x+3，
∴D（4，0），E（0，3）
∴OD=4，OE=3，
由勾股定理可知：DE=5，
∵∠MDF=∠ODE，
∴△EDO∽△MDF，
∴$\frac{MF}{OE}=\frac{MD}{DE}$，
∴MD=$\frac{45}{8}$，
∴M的坐标为：（-$\frac{13}{8}$，0）
∴此时m=-$\frac{13}{8}$-（-$\frac{37}{8}$）=3，
由对称性可知：当点M在点D的右侧时，
此时MD=$\frac{45}{8}$，
∴M的坐标为：M（$\frac{77}{8}$，0）
∴m=$\frac{77}{8}-（-\frac{37}{8}）$=$\frac{57}{4}$；
②若P为直线DE上一动点，当以P，A₁，B₁为顶点所作的直角三角形有四个时，
此时直线DE与⊙M相交，
∴m的范围为：-$\frac{13}{8}$＜m＜$\frac{77}{8}$

点评 本题考查二次函数的综合问题、相似三角形的判定与性质、切线的性质、待定系数法求解析式、勾股定理、对称性等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，本题综合程度较高，属于中考压轴题．