Question

20．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交与点O，AD与BC交与点P，BE与CD交与点Q，连接PQ．有下列结论：
①AD=BE；②AP=BQ；③∠AOB=60°；④DE=DP；⑤△CPQ为正三角形．
其中正确的结论有（　　）

• A． ①②③⑤
• B． ①③④⑤
• C． ①②⑤
• D． ②③④

Answer 1

分析 根据等边三角形性质得出AC=BC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°，求出∠ACD=∠BCE，证△ACD≌△BCE，推出AD=BE，即可判断①；根据全等三角形性质得出∠CBE=∠CAD，根据ASA证△ACP≌△BCQ，推出AP=BQ，即可判断②；对应角相等可得∠CAD=∠CBE，然后证明△ACP与△BCQ全等，根据全等三角形对应角相等可得PC=PQ，从而得到△CPQ是等边三角形，所以⑤正确求出∠DCE=60°=∠CAD+∠ADC，求出∠CAD+∠BEC=60°，即可求出∠AOB=60°，即可判断③；根据三角形外角性质推出∠DPC＞∠DCP，推出DP＜DC，即可判断④．

解答 解：∵△ABC和△DCE是正三角形，
∴AC=BC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCA+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{DC=CE}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∴①正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠CAD，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°=∠ACB，
在△ACP和△BCQ中$\left\{\begin{array}{l}{∠CAP=∠CBQ}\\{AC=BC}\\{∠ACP=∠BCQ}\end{array}\right.$
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP=BQ，∴②正确；
PC=QC，
∴△CPQ为正三角形∴⑤正确
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∠DCE=60°=∠CAD+∠ADC，
∴∠CAD+∠BEC=60°，
∴∠AOB=∠CAD+∠BEC=60°，∴③正确；
∵△DCE是正三角形，
∴DE=DC，
∵∠AOB=60°，∠DCP=60°，∠DPC＞∠AOB，
∴∠DPC＞∠DCP，
∴DP＜DC，即DP＜DE，∴④错误；
所以正确的有①②③⑤，
故选A．

点评 本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，本题综合性比较强，有一定的难度