Question

【题目】在矩形ABCD中，点F在AD延长线上，且DF＝DC，M为AB边上一点，N为MD的中点，点E在直线CF上，且BN＝NE．

（1）如图1，若AB＝BC＝6，BM＝AB，E为线段FC上的点，试求NE的长；

（2）如图2，若AB＜BC，E为线段FC延长线上的点，连结BE，求证：BE＝NE．

Answer 1

【答案】（1）NE＝5；（2）证明见解析

【解析】

（1）延长BN交CD的延长线于点G，连接BE、GE，过E作EH⊥CE，由AAS证明△BMN≌△GDN，得出BM＝DG，BN＝GN，由勾股定理求出BG，即可得出答案；
（2）延长BN交CD的延长线于点G，连接GE，GE交AD于点Q，过E作EH⊥CE，交DC的延长线于点H，由AAS证得△BMN≌△GDN，得出BN＝NG＝NE，则△BEG是直角三角形，∠BEG＝90°，再由ASA证得△ECB≌△EHG得出EB＝EG，证得△BNE是等腰直角三角形，即可得出结论．

（1）解：延长BN交CD的延长线于点G，连接BE、GE，过E作EH⊥CE，交CD于点H．

∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC＝6，

∴∠BCD＝90°，AB∥CG，四边形ABCD是正方形，

∴∠MBN＝∠DGN，CD＝BC＝6，

∵N为MD的中点，

∴MN＝DN．在△BMN和△GDN中， ，

∴△BMN≌△GDN（AAS）．

∴BM＝DG，BN＝GN．

∵BM＝AB＝2，

∴DG＝2，

∴CG＝CD+DG＝8，

在Rt△BCG中，由勾股定理得：BG＝＝＝10，

∴BN＝BG＝5，

∵BN＝NE，

∴NE＝5；

（2）证明：延长BN交CD的延长线于点G，连接GE，GE交AD于点Q，过E作EH⊥CE，交DC的延长线于点H，如图2所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CG，

∴∠MBN＝∠DGN，∠BMN＝∠GDN，

∵N为MD的中点，

∴MN＝DN，

在△BMN和△GDN中，，

∴△BMN≌△GDN（AAS），

∴BN＝NG＝NE，

∴△BEG是直角三角形，∠BEG＝90°，

∵EH⊥CE，

∴∠CEH＝90°．

∴∠BEG＝∠CEH，

∴∠BEC＝∠GEH，

∵DF＝DC，∠CDF＝90°，

∴∠DCF＝45°，

∴∠CHE＝∠HCE＝45°，

∴EC＝EH，

∵∠ECB＝∠HCB﹣∠HCE＝90°﹣45°＝45°，

∴∠ECB＝∠EHG，在△ECB和△EHG中，，

∴△ECB≌△EHG（ASA），

∴EB＝EG，

∵BN＝NG，

∴BN⊥NE，

∴△BNE是等腰直角三角形，

∴BE＝NE．