Question

9．（1）观察推理：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，BE⊥l，AD⊥l，垂足分别为D、E．求证：△ADC≌△CEB；
（2）类比探究：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积．
（3）拓展提升：如图3，等边△EBC中，EC=BC=3cm，点O在BC上，且OC=2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．要使点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间ts．

Answer 1

分析 （1）由同角的余角相等，和直角判断出△ADC≌△CEB；
（2）由旋转得到结论，判断出四边形C′ADB′是矩形，再用面积公式计算即可；
（3）由等式的性质判断出∠BFO=∠CPO，从而得到△OCP≌△FBO，求出CP，即可．

解答 证明：（1）∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CEB}\\{∠DAC=∠ECB}\\{AC=CB}\end{array}\right.$
∴△ADC≌△CEB；
（2）如图1，

根据题意得出旋转后图形，AC′⊥AC，B′D′⊥AC，
∵∠C′AC=∠AC′B′=∠AD′B′，
∴四边形C′AD′B′是矩形，
∴AC′=B′D′=AC=4，
∴S_△AB′C=$\frac{1}{2}$AC×B′D′=$\frac{1}{2}$×4×4=8；
（3）如图2，

∵△BCE是等边三角形，
∴∠CBE=∠BCE=60°，
∴∠OBF=∠OCP=120°，
∴∠BOF+∠BFO=60°，
∵∠POF=120°，
∴∠BOF+∠OPC=60°，
∴∠BFO=∠CPO，
∵OP=OF，
∴△OCP≌△FBO，
∴CP=BO=BC-OC=3-2=1，
∴EP=EC+CP=3+1=4，
∵动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，
∴t=4÷1=4s．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的全等的判定和性质，矩形的判定和性质，等式的性质，三角形的面积公式，利用等式的性质判断∠BFO=∠CPO是解本题的难点．