Question

19．有一座抛物线型拱桥，其水面宽AB为18米，拱顶O离水面AB的距离OM为9米，货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF，如图建立平面直角坐标系．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如果限定矩形的长CD为9米，那么矩形的高DE不能超过多少米，才能使船通过拱桥．
（3）若设L=EF+DE+CF，当L的值最大时，求矩形CDEF的高．

Answer 1

分析 （1）根据题意设抛物线的解析式为y=ax²（a≠0）．把已知坐标（9，-9）代入解析式求得a=-$\frac{1}{9}$，故抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{9}$x²；
（2）已知CD=9，把已知坐标代入函数关系式可求解；
（3）设DM=a米，可得EF=CD=2DM=2a米、DE=FC=9-$\frac{1}{9}$a²，根据L=EF+DE+CF求得L的值最大时a的值，代入DE=9-$\frac{1}{9}$a²可得．

解答 解：（1）根据题意，设抛物线解析式为：y=ax²，
将点D（9，-9）代入，得：81a=-9，
解得：a=-$\frac{1}{9}$，
故抛物线解析式为：y=-$\frac{1}{9}$x²；

（2）当x=$\frac{9}{2}$时，y=-$\frac{1}{9}$×$\frac{81}{4}$=-$\frac{9}{4}$，
∵9-$\frac{9}{4}$=$\frac{27}{4}$，
∴矩形的高DE不能超过$\frac{27}{4}$米，才能使船通过拱桥；

（3）设DM=a米，则EF=CD=2DM=2a米，
当x=a时，y=-$\frac{1}{9}$a²，
∴DE=FC=9-$\frac{1}{9}$a²，
则L=2a+2（9-$\frac{1}{9}$a²）=-$\frac{2}{9}$a²+2a+18=-$\frac{2}{9}$（a-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{45}{2}$，
∴当a=$\frac{9}{2}$时，L取得最大值，
当a=$\frac{9}{2}$时，矩形的高DE=FC=9-$\frac{1}{9}$a²=9-$\frac{1}{9}$×$\frac{81}{4}$=$\frac{27}{4}$（米）．

点评 本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的应用，根据已知条件得出L的函数关系式及其最值情况是解决问题的关键．