Question

4．在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°．以AB为斜边作等腰直角三角形ADB．点P是直线DB上一个动点，连接AP，作PE⊥AP交BC所在的直线于点E．

（1）如图1，点P在BD的延长线上，PE⊥EC，AD=1，直接写出PE的长；
（2）点P在线段BD上（不与B，D重合），依题意，将图2补全，求证：PA=PE；
（3）点P在DB的延长线上，依题意，将图3补全，并判断PA=PE是否仍然成立．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得到∠ABP=45°，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，推出四边形ABEP是矩形，得到四边形ABEP是正方形，于是得到结论；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠ADB=90°，∠DAB=∠DBA=45°，求得∠PBN=45°过P作PM⊥AB于点M，过P作PN⊥BC于点N，于是得到PM=PN，∠BPN=45°根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）根据等腰直角三角形的性质得到∠ABD=45°，得到∠PBN=45°，∠ABC=90°，过P作PM⊥AB于点M，过P作PN⊥BC于点N，得到四边形BMPN是矩形，推出四边形BMPN是正方形，得到PM=PN，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵AD=DB=1，∠ADB=90°，
∴∠ABP=45°，AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵PE⊥AP，AB⊥BC，
∴PA∥EC，
∴PA⊥AB，
∴四边形ABEP是矩形，
∵∠ABP=45°，
∴PA=AB，
∴四边形ABEP是正方形，
∴PE=AB=$\sqrt{2}$

（2）∵△ABC和△ADB是等腰直角三角形，
∴∠ADB=90°，∠DAB=∠DBA=45°，
∴∠PBN=45°
∴PE⊥AP，∠DAP=∠BPE=90°-∠DPA，
∵∠PAM=45°-∠DAP，∠PEN=45°-∠BPE，
∴∠PAM=∠PEN，
过P作PM⊥AB于点M，过P作PN⊥BC于点N，
则PM=PN，∠BPN=45°，
在△APM和△EPN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PAM=∠PEN}\\{∠AMP=∠EPN}\\{PM=PN}\end{array}\right.$，
∴△APM≌△EPN，
∴PA=PE；

（3）∵△ABC和△ADB是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°，
∴∠PBN=45°，∠ABC=90°，
过P作PM⊥AB于点M，过P作PN⊥BC于点N，
则四边形BMPN是矩形，
∵∠NBP=45°，
∴四边形BMPN是正方形，
∴PM=PN，
∵AB⊥BC，
∴∠BAN=∠APN，
∵AP⊥PE，
∴∠APN=∠E，
∴∠BAP=∠E，
在△AMP与△ENP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AMP=∠ENP}\\{∠MAP=∠NEP}\\{PM=PN}\end{array}\right.$，
∴△AMP≌△ENP，
∴AP=PE．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．