Question

4．如图①，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．
（1）求证：△ADE是等边三角形；
（2）如图②，将△ADE绕着点A逆时针旋转适当的角度，使点B在ED的延长线上，连接CE，判断∠BEC的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据△ABC为等边三角形，则∠C=∠B=60°，由DE∥BC得到∠ADE=∠C=∠B=∠AED=60°，然后根据等边三角形的判定方法得到△ADE是等边三角形；
（2）由SAS证明△ABD≌△ACE，得出AD=AE，求出∠DAE=∠CAE+∠DAC=60°，证出△ADE是等边三角形，得出AE=DE，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴∠A=∠ADE=∠AED，
∴△ADE是等边三角形．
∵△ABC是等边三角形；
（2）解：AE+CE=BE；理由如下：
∵AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°-∠DAC=∠CAE，
由旋转的性质得：△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，
∵∠DAE=∠CAE+∠DAC=∠BAD+∠DAC=∠BAC=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE=DE，
∴AE+CE=DE+BD=BE．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质、旋转的性质、平行线的性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质是解决问题的关键．