【题目】已知 x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)是否存在实数k,使(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=﹣成立?若存在求出k的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)k<0;(2)不存在这样k的值.
【解析】
(1)根据已知可知,方程有两个实数根,那么△≥0,解不等式即可;
(2)由于方程有两个实数根,那么根据根与系数的关系可得x1+x2=1,x1x2=,然后把x1+x2、x1x2代入(2x1-x2)(x1-2x2)=-中,进而可求k的值.
(1)∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根,
∴△=b2﹣4ac=16k2﹣4×4k(k+1)=﹣16k≥0,且4k≠0,
解得k<0;
(2)∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根,
∴x1+x2=1,x1x2=,
∴(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=2x12﹣4x1x2﹣x1x2+2x22=2(x1+x2)2﹣9x1x2=2×12﹣9×=2﹣,
若2﹣=﹣成立,
解上述方程得,k=,
∵(1)中k<0,(2)中k=,
∴矛盾,
∴不存在这样k的值.
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【题目】已知:如图,在矩形ABCD中,AC是对角线,点P为矩形外一点且满足AP=PC,AP⊥PC,PC交AD于点N,连接DP,过点P作PM⊥PD交AD于M.
(1)若AP=5,AB=BC,求矩形ABCD的面积;
(2)若CD=PM,试判断线段AC、AP、PN之间的关系,并证明.
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【题目】如图所示,一艘轮船在近海处由西向东航行,点C处有一灯塔,灯塔附近30海里的圆形区域内有暗礁,轮船在A处测得灯塔在北偏东60°方向上,轮船又由A向东航行40海里到B处,测得灯塔在北偏东30°方向上.
(1)求轮船在B处时到灯塔C处的距离是多少?
(2)若轮船继续向东航行,有无触礁危险?
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【题目】如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,点D是AB延长线上的一点,AE⊥DC交DC的延长线于点E,AC平分∠DAE.
(1)DE与⊙O有何位置关系?请说明理由.
(2)若AB=6,CD=4,求CE的长.
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【题目】如图,Rt△OAB的直角边OA在x轴上,顶点B的坐标为(6,8),直线CD交AB于点D(6,3),交x轴于点C(12,0).
(1)求直线CD的函数表达式;
(2)动点P在x轴上从点(﹣10,0)出发,以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动,过点P作直线l垂直于x轴,设运动时间为t.
①点P在运动过程中,是否存在某个位置,使得∠PDA=∠B?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
②请探索当t为何值时,在直线l上存在点M,在直线CD上存在点Q,使得以OB为一边,O,B,M,Q为顶点的四边形为菱形,并求出此时t的值.
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【题目】如图,Q是弧AB与弦AB所围成的图形的内部的一定点,P是弦AB上一动点,连接PQ并延长交弧AB于点C,连接BC.已知AB=6cm,设A,P两点间的距离为xcm,P,C两点间的距离为y1cm,A,C两点间的距离为y2cm.
小明根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2,随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小明的探究过程,请补充完整:
(1)确定自变量x的取值范围是 .
(2)按下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y1,y2与x的几组对应值.
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y1/cm | 5.62 | 4.67 | 3.76 | 2.65 | 3.18 | 4.37 | |
y2/cm | 5.62 | 5.59 | 5.53 | 5.42 | 5.19 | 4.73 | 4.11 |
(3)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2),并面出函数y1,y2的图象.
(4)结合函数图象,解决问题:当△APC为等腰三角形时,AP的长度约为 cm.
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【题目】如图矩形纸片ABCD中,,,P是边BC上的动点,现将纸片折叠,使点A与点P重合,折痕与矩形边的交点分别是E、F,要使折痕始终与边AB、AD有交点,则BP的取值范围是______.
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