Question

15．如图1，△ABC中，AB=AC，∠BEF=∠DBC，∠BDC=2∠DEF，
（1）求证：BD=BE．
（2）如图2，在（1）的下，EF⊥BC，BE=8，DG=5，求CD的长．
（3）在（2）的条件下，如图3，过点C作CM⊥CB交BD的延长线于M，过点B作∠NBC=∠MBC，连接MN，且△BMN的面形为45，求BN的长．

Answer 1

分析 （1）证明∠BDE=∠BED，根据等角对等边得出结论；
（2）作两条垂线段，证明△BEF≌△NBD和△BGF≌△DNC，进而判断出△BFG≌△DHC即可得出CD=3，
（3）先用射影定理求出DM=$\frac{C{D}^{2}}{BD}$=$\frac{9}{8}$，BM=BD+DM=$\frac{73}{8}$，CM=$\sqrt{DM×BM}$=$\frac{3\sqrt{73}}{8}$，进而得出BH=BM=$\frac{73}{8}$，MH=2CM=$\frac{3\sqrt{73}}{4}$，再用S_△BMN=S_△BMH+S_△MNH得出NI，进而用△BCH∽△NIH，得出$\frac{BC}{NI}=\frac{BH}{NH}$，即求出NH=$\frac{47}{8}$，即可得出结论．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∵∠BEF=∠DBC，
∴∠EFB=∠BDC，
设∠DEF=x，∠EDB=y，∠BEF=z，
在△EGD和△BGF中，x+y=z+2x，
y=x+z，即∠BDE=∠BED，
∴BD=BE，
（2）如图2，过D作DH⊥BC，
∵EF⊥BC，
∴∠BFE=∠DHB=90°
由（1）知：BE=BD，
∵∠BEF=∠DBC，∠EFB=∠DHB=90°，
∴△BEF≌△BDH，
∴BF=DH，∠EBF=∠BDH，
∵∠ABC=∠ACB，∠BEF+∠ABC=90°，．
∴∠BEF+∠ACB=90°，
∵∠BEF=∠DBC，
∴∠DBC+∠ACB=90°M
∴∠BDC=90°，
∴∠BDH+∠CDH=90°，
∴∠FBG=∠HDC，
∵∠BFG=∠DHC，BF=DH，
∴△BFG≌△DHC，
∴CD=BG=BD-DG=3；
（3）如图3，由（2）知，CD=3，∠BDC=90°，
∴BC=$\sqrt{73}$，
在Rt△BCM中，CD⊥BM，
∴DM=$\frac{C{D}^{2}}{BD}$=$\frac{9}{8}$，
∴BM=BD+DM=$\frac{73}{8}$，CM=$\sqrt{DM×BM}$=$\frac{3\sqrt{73}}{8}$，
延长MC交BN于H，
∵∠NBC=∠MBC，BC⊥MH，
∴BH=BM=$\frac{73}{8}$，MH=2CM=$\frac{3\sqrt{73}}{4}$，
过点N作NI⊥MH交MH延长线于I，
∵△BMN的面形为45
∴S_△BMN=S_△BMH+S_△MNH=$\frac{1}{2}$MH×BC+$\frac{1}{2}$MH×NI=$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{73}}{4}$×$\sqrt{73}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{73}}{4}$×NI=45，
∴NI=$\frac{47\sqrt{73}}{73}$，
∵△BCH∽△NIH，
∴$\frac{BC}{NI}=\frac{BH}{NH}$，
∴$\frac{\sqrt{73}}{\frac{47\sqrt{73}}{73}}=\frac{\frac{73}{8}}{NH}$，
∴NH=$\frac{47}{8}$，
∴BN=BH+NH=$\frac{73}{8}$+$\frac{47}{8}$=15，

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，几何图形的面积，射影定理，解本题的关键是得出CD=3，难点点用角平分线和垂直构造等腰三角形和相似三角形，是一道很好的中考常考题．