Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC、∠BCD的平分线正好相交于梯形的中位线EF上的点G．
（1）试说明：△BEG是等腰三角形；
（2）若EF=2，求梯形的周长．

Answer 1

分析：（1）根据梯形的中位线定理求出EF∥BC，推出∠EGB=∠CBG，根据角平分线求出∠EBG=∠CBG，推出∠EBG=∠EGB即可；
（2）求出AD+BC的值，推出CF+BE=4，推出AB+CD=4，根据梯形的周长为AD+BC+CD+AD，代入求出即可．

解答：（1）解：∵EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF=

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2

（AD+BC），EF∥BC，
∴∠EGB=∠CBG，
∵BG平分∠ABC，
∴∠EBG=∠CBG，
∴∠EGB=∠EBG，
∴BE=EG，
即△BEG是等腰三角形．

（2）解：由（1）证出EB=EG，
同理可证：CF=FG，
∴CF+BE=EF=2，
即AB+CD=2×2=4，
∵EF=

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2

（AD+BC），
∴AD+BC=4，
∴梯形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=4+4=8，
答：梯形的周长为8．

点评：本题综合考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，梯形的中位线定理，角平分线定义等知识点的应用，关键是求出BE=EG，CF=GF，题目比较典型，难度也不大．