Question

5．如图所示，等边△ABC中，AD⊥BC于D．点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过E作EF⊥AC，垂足为F，
（1）如图1，证明：PE+2EF=2AD；
（2）若AB=4，过F作FQ⊥AB，垂足为Q，PQ=1，求BP的长．

Answer 1

分析 （1）设△ABC的边长为a，BE=x，则CE=a-x，根据等边三角形的性质得到∠B=∠C=60°，解直角三角形得到AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，PE=$\sqrt{3}$x，EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a-x），求得PE+2EF=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$（a-x）=$\sqrt{3}$a，2AD=$\sqrt{3}$a，即可得到结论．
（2）设PB=x，解直角三角形求得CF=$\frac{1}{2}$CE=2-$\frac{1}{4}$x，AF=4-CF=2+$\frac{1}{4}$xAQ=$\frac{1}{2}$AF=1+$\frac{1}{8}$x，列方程x+1+1+$\frac{1}{8}$x=4，解得x=$\frac{16}{9}$，于是得到结论．

解答 解：（1）设△ABC的边长为a，BE=x，则CE=a-x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∵PE⊥BC，
∴PE=$\sqrt{3}$x，
∵EF⊥AC，
∴∠EFC=90°，
∴EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a-x），
∴PE+2EF=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$（a-x）=$\sqrt{3}$a，
2AD=$\sqrt{3}$a，
∴PE+2EF=2AD；

（2）过F作FQ⊥AB于Q，设PB=x，
∵PE⊥BC，∠B=60°，
∴BE=$\frac{1}{2}$x，CE=4-$\frac{1}{2}$x，
∵EF⊥AC，∠C=60°，
∴CF=$\frac{1}{2}$CE=2-$\frac{1}{4}$x，
∴AF=4-CF=2+$\frac{1}{4}$x，
∵∠BAC=60°，FQ⊥AB，
∴AQ=$\frac{1}{2}$AF=1+$\frac{1}{8}$x，
∴x+1+1+$\frac{1}{8}$x=4，
∴x=$\frac{16}{9}$，
∴PB=$\frac{16}{9}$，
如图2，过E作GE⊥AB于G，∴EG+EF=AD，2EG=PE，∴$\frac{1}{2}$PE+EF=AD，即，PE+2EF=2AB，∴PB=$\frac{32}{9}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．