Question

13．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点的坐标分别是（-4，3），B（-6，0），O是原点，点M是OB边上异于O，B的一动点，过点M作MN∥AB，点P是AB边上的任意点，连接AM，PM，PN，BN．设点M（x，0）．
（1）求出OA所在直线的解析式，并求出点M的坐标为（-1，0）时，点N的坐标；
（2）若$\frac{{S}_{△PMN}}{{S}_{△ANB}}$=$\frac{2}{3}$时，求此时点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）由点A的坐标利用待定系数法即可得出直线OA的解析式，再由B、M的坐标以及MN∥AB即可得出$\frac{ON}{OA}=\frac{OM}{AB}=\frac{1}{6}$，结合点A的坐标即可得出点N的坐标；
（2）由MN∥AB利用平行线间距离处处相等即可得出S_△PMN=S_△BMN，S_△ANB=S_△AMB，根据$\frac{{S}_{△PMN}}{{S}_{△ANB}}$=$\frac{2}{3}$即可得出$\frac{{S}_{△BMN}}{{S}_{△AMB}}$=$\frac{\frac{1}{2}BM•{y}_{N}}{\frac{1}{2}BM•{y}_{A}}$=$\frac{2}{3}$，再结合点A的坐标即可得出点N的纵坐标，将其代入直线ON中即可求出x值，从而得出点N的坐标．

解答 解：（1）设直线OA的解析式为y=kx（k≠0），
将点A（-4，3）代入y=kx中，得：3=-4k，解得：k=-$\frac{3}{4}$，
∴OA所在的直线的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x．
∵B（-6，0），M（-1，0），
∴OB=6，OM=1，
又∵MN∥AB，
∴$\frac{ON}{OA}=\frac{OM}{AB}=\frac{1}{6}$，
∴点N的横坐标与点A的横坐标之比为$\frac{1}{6}$，
∵A（-4，3），
∴点N的横坐标为-$\frac{2}{3}$，
将x=-$\frac{2}{3}$代入y=-$\frac{3}{4}$x得：y=$\frac{1}{2}$，
∴点N的坐标为（-$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$）．
（2）∵MN∥AB，
∴S_△PMN=S_△BMN，S_△ANB=S_△AMB，
∵$\frac{{S}_{△PMN}}{{S}_{△ANB}}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△BMN}}{{S}_{△AMB}}$=$\frac{\frac{1}{2}BM•{y}_{N}}{\frac{1}{2}BM•{y}_{A}}$=$\frac{2}{3}$，
∴y_N=$\frac{2}{3}$y_A=2．
令y=-$\frac{3}{4}$x中y=2，则x=-$\frac{8}{3}$，
∴当$\frac{{S}_{△PMN}}{{S}_{△ANB}}$=$\frac{2}{3}$时，点N的坐标为（-$\frac{8}{3}$，2）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、平行线的性质以及三角形的面积，解题的关键是：（1）找出点N的横坐标与点A的横坐标之比为$\frac{1}{6}$；（2）根据平行线的性质找出S_△PMN=S_△BMN，S_△ANB=S_△AMB．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出线段之间的关系是关键．