Question

1．王老师在组织一次数学教学中，扁拟了如下问题串
【原题初探】
如图1所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，求证：S_{四边形ABCD=}S_△ABF；
【变式猜想】
如图2所示，在已知锐角∠AOB内有一定点P，过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA，OB于点M，N，小明在将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值，试问当MN在什么位置时，△MON的面积最小
【拓展应用】
如图3所示，一块四边形土地OABC，其中OA边长60米，AB边长30米，C点到OA边的距离为45米，使用测角器测得∠AOC=45°，OA⊥AB，OC⊥BC，机井P距离OA，AB均是20米，过机井P画一条分割线将这块地分成两块四边形地块（与四边形土地OABC）的一组对边相交），则其中以点O为顶点的四边形地块的最大面积为1000m²．

Answer 1

分析 【原题初探】：根据可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S_△ADE=S_△FCE就可以得出结论；
【变式猜想】：根据问题情境的结论可以得出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，过点M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性质可以得出结论；
【拓展应用】：当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，延长CB交x轴于T，由B、C的坐标可得直线BC的解析式，就可以求出T的坐标，从而求出△OCT的面积，再由问题迁移的结论可以求出最大值，通过比较就可以求出结论．

解答 解：【原题初探】
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠FCE，
在△ADE与△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠FCE}\\{DE=CE}\\{∠AED=∠FEC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE，
∴S_△ADE=S_△FCE，
∴S_{四边形ABCD}=S_{四边形ABCE}+S_△ADE=S_{四边形ABCE}+S_△FCE=S_△ABF；
【变式猜想】
当直线旋转到点P是MN的中点时S_△MON最小，
如图（1），过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，过点M作MG∥OB交EF于G，
由方法探究可以得出当P是MN的中点时S_{四边形MOFG}=S_△MON．                 
∵S_{四边形MOFG}＜S_△EOF，
∴S_△MON＜S_△EOF，
∴当点P是MN的中点时S_△MON最小； 
【拓展应用】
①如图3，

当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N，延长OC、AB交于点D，
∵OA边长60米，使用测角器测得∠AOC=45°，OA⊥AB，
∴△OAD是等腰直角三角形，
∴S_△AOD=$\frac{1}{2}$AO²=$\frac{1}{2}$×60²=1800
由变式猜想的结论可知，当PN=PM时，△MND的面积最小，
∴四边形ANMO的面积最大．
作PP₁⊥OA，MM₁⊥OA，垂足分别为P₁，M₁，
∴M₁P₁=P₁A=20，
∴OM₁=M₁M=20，
∴MN∥OA，
∴S_{四边形OANM}=S_△OMM1+S_{四边形ANMM1}=$\frac{1}{2}$×20×20+20×40=1000
②如图4，

当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，延长CB交x轴于T，
过点C作CH⊥OA，
∴CH=45．
∵∠COA=45°，
∴△CHA为等腰直角三角形，
∴OC=45$\sqrt{2}$，
∵OC⊥BC，
∴△OCT是等腰直角三角形，
∴S_△OCT=$\frac{1}{2}$OC²=2025，OT=90
由问题迁移的结论可知，当PM=PN时，△MNT的面积最小，
∴四边形CMNO的面积最大．
∴NP₁=M₁P₁，MM₁=2PP₁=40，
∴TM₁=40
∴OM₁=OT-TM₁=50．
∵AT=AB=30，
∴AM₁=TM₁-AT=40-30=10，
∵AP₁=20，
∴P₁N=P₁M₁=AP₁=AM₁=20-10=10，
∴NT=P₁N+AP₁+AT=10+20+30=60
∴S_△MNT=$\frac{1}{2}$×40×60=1200，
∴S_{四边形OCMN}=2025-1200=725＜1000．
∴综上所述：截得四边形面积的最大值为1000（m²），
故答案为1000m²．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了由特殊到一般的数学思想的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，四边形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，分类讨论思想的运用，解答时建立数学模型解答是关键．