Question

14．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC+BD=40，AB=12，点E是BC边上一点，直线OE交CD边所在的直线于点F，若OE=2$\sqrt{10}$，则DF=18或30．

Answer 1

分析 作ON⊥BC于N，由矩形的性质得出∠ABC=90°，AD∥BC，CD=AB=12，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，得出OB=OC，AC=BD=20，由勾股定理求出BC，由等腰三角形的性质得出BN=CN=$\frac{1}{2}$BC=8，由三角形中位线定理得出ON=$\frac{1}{2}$AB=6，再由勾股定理求出EN，分两种情况：①求出CE的长，由平行线得出△DMF∽△CEF，得出对应边成比例，即可得出结果；②求出CE的长，由平行线证出△ONE∽△FCE，得出对应边成比例求出CF，即可得出DF的长．

解答 解：作ON⊥BC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC，CD=AB=12，
OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴OB=OC，
∵AC+BD=40，
∴AC=BD=20，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{2{0}^{2}-1{2}^{2}}$=16，
∵ON⊥BC，
∴BN=CN=$\frac{1}{2}$BC=8，
∴ON=$\frac{1}{2}$AB=6，
∴EN=$\sqrt{O{E}^{2}-O{N}^{2}}$=$\sqrt{40-36}$=2，
∴CE=CN+EN=10，
分两种情况：①如图1所示：
∵AD∥BC，OB=OD，
∴DM：BE=OD：OB=1，△DMF∽△CEF，
∴DM=BE=BC-CE=6，$\frac{DF}{CF}=\frac{DM}{CE}$，
即$\frac{DF}{12+DF}=\frac{6}{10}$，
解得：DF=18；
②如图2所示：由①得：CE=CN-EN=6，
∵CD⊥BC，ON⊥BC，
∴ON∥CD，
∴△ONE∽△FCE，
∴$\frac{EN}{CE}=\frac{ON}{CF}$，即$\frac{2}{6}=\frac{6}{CF}$，
解得：CF=18，
∴DF=CD+CF=12+18=30；
故答案为：18或30．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．