Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，AE=BD，且DF⊥AB于F，求证：CD=DF

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

延长AE、BC交于点F．根据同角的余角相等，得∠DBC=∠FAC；由ASA证明△BCD≌△ACF，得出AF=BD，AE=AF，由线段垂直平分线的性质得到AB=BF，再根据等腰三角形的三线合一得出BD是∠ABC的角平分线，由角平分线的性质定理即可得出结论．

证明：延长AE、BC交于点F. 如图所示：

∵AE⊥BE，

∴∠BEA=90°，

又∠ACF=∠ACB=90°，

∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，

∴∠DBC=∠FAC，

在△ACF和△BCD中,

，

∴△ACF≌△BCD(ASA)，

∴AF=BD.

又AE=BD，

∴AE=AF，即点E是AF的中点，

∴AB=BF，

∴BD是∠ABC的角平分线，

∵∠C=90°，DF⊥AB于F，

∴CD=DF.