Question

15．如图，P为等腰三角形ABC内一点，过P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足分别为D、E、F．已知AB=AC=10，BC=12，且PD：PE：PF=1：3：3．则四边形PDCE的面积为（　　）

• A． 10
• B． 15
• C． $\frac{40}{3}$
• D． $\frac{50}{3}$

Answer 1

分析 先连接AP，BP，CP，根据S_△ABP+S_△APC+S_△BPC=$\frac{1}{2}$（PD×12+PE×10+PF×10）=S_△ABC与PD：PE：PF=1：3：3，即可求得PD与PE的长，然后根据三角形相似求得AE，从而求得CE，然后根据四边形PDCE的面积=S_△PEC+S_△PDC即可求得．

解答 解：连接AP，BP，CP，
∵PD，PE，PF分别垂直于BC，AC，AB，
∴S_△ABP+S_△APC+S_△BPC=$\frac{1}{2}$（PD×12+PE×10+PF×10）=S_△ABC=48，
又∵PD：PE：PF=1：3：3，
∴PE=PF=3PD，
∴$\frac{1}{2}$（PD×12+3PD×10+3PD×10）=48，
∴PD=$\frac{4}{3}$，PF=4，
∵PE=PF，PE，PF分别垂直于AC，AB，
∴∠PAB=∠PAC，
∵AB=AC，
∴AP⊥BC，
∵PD⊥BC，
∴A、P、D共线，
∴BD=DC=6，
∵∠ADC=∠AEP=90°，∠DAC=∠EAP，
∴△EAP∽△DAC，
∴$\frac{EA}{AD}$=$\frac{PE}{DC}$，
∴EA=$\frac{4×8}{6}$=$\frac{16}{3}$，
∴EC=10-$\frac{16}{3}$=$\frac{14}{3}$，
∴四边形PDCE的面积为S_△PEC+S_△PDC=$\frac{1}{2}$×$\frac{14}{3}$×4+$\frac{1}{2}$×$6×\frac{4}{3}$=$\frac{40}{3}$．
故选C．

点评 本题考查的是等腰三角形的性质，根据题意作出辅助线，利用等腰三角形三线合一的特点求解是解答此题的关键．