Question

如图，已知直线y=-m（x-4）（m＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为C．过A作x轴的垂线AT，M是线段OB上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P．连接CN、CM．
（1）证明：∠MCN=90°；
（2）设OM=x，AN=y，求y关于x的函数解析式；
（3）若OM=1，当m为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积．

Answer 1

分析：（1）如图推出AT，OM是⊙C的切线．得出∠CMN=

1

2

∠OMN，∠CNM=

1

2

∠ANM，根据∠CMN+∠CNM=90°，求出∠MCN；
（2）由1推出∠1=∠3，证明Rt△MOC∽Rt△CAN，利用线段比求出点A的坐标，从而求出y关于x的函数解析式；
（3）因为直线AB平分梯形ANMO的面积推出FG的长．求出直线MN的解析式后因为点F在直线MN上，易求点F的坐标．然后又因为点F在直线y=-m（x-4）求出m值．

解答：证明：（1）∵AT⊥AO，OM⊥AO，AO是⊙C的直径，
∴AT、OM是⊙C的切线，
又∵MN切⊙C于点P，
∴∠CMN=

1

2

∠OMN，∠CNM=

1

2

∠ANM，
∵OM∥AN，
∴∠ANM+∠OMN=180°，
∴∠CMN+∠CNM=

1

2

∠OMN+

1

2

∠ANM=

1

2

（∠OMN+

1

2

∠ANM）=90°，
∴∠MCN=90°；

解：（2）由（1）可知：∠1+∠2=90°，而∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3；
∴Rt△MOC∽Rt△CAN，
∴

OM

AC

=

OC

AN

，
∵直线y=-m（x-4）交x轴于点A，交y轴于点B，
∴0=-m（x-4），
∴x=4，
∴A（4，0），
∴AC=CO=2，
∵OM=x，AN=y，
∵

x

2

=

2

y

，
∴y=

4

x

；

（3）
∵OM=1，
∴AN=y=4，此时S_{四边形ANMO}=10，
∵直线AB平分梯形ANMO的面积，
∴△ANF的面积为5过点F作FG⊥AN于G，则

1

2

FG•AN=5，
∴FG=

5

2

，
∴点F的横坐标为4-

5

2

=

3

2

，
∵M（0，1），N（4，4），
∴直线MN的解析式为y=

3

4

x+1，
∵F点在直线MN上，
∴F点的纵坐标为y=

17

8

，
∴F（

3

2

，

17

8

），
∵点F又在直线y=-m（x-4）上，
∴

17

8

=-m（

3

2

-4），
∴m=

17

20

．

点评：本题考查的是一次函数的综合应用以及三角形的面积计算公式，难度中等．