Question

如图是某居民小区的一块直角三角形空地ABC，某斜边AB=100米，直角边AC=80米．现要利用这块空地建一个矩形停车场DCFE，使得D点在BC边上，E、F分别是AB、AC边的中点．
（1）求另一条直角边BC的长度；
（2）求停车场DCFE的面积；
（3）为了提高空地利用律，现要在剩余的△BDE中，建一个半圆形的花坛，使它的圆心在BE边上，且使花坛的面积达到最大，请你在原图中画出花坛的草图，求出它的半径（不要求说明面积最大的理由），并求此时直角三角形空地ABC的总利用率是百分之几（精确到1%）．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理可求出BC的长；
（2）由已知可得EF为△ABC的中位线，由中位线定理可知EF=

1

2

BC=

1

2

×60=30m，FC=

1

2

AC=

1

2

×80=40（米），可求出矩形的面积；
（3）如图，当花坛的面积达到最大时，半圆O与BD、DE相切，设切点分别为G、K，圆心为O，连接OG、OK，则OG⊥BD，OK⊥DE，OG=OK，即四边形OGDK为正方形，设OG=x，易证△OBG∽△ABC，根据其边长比可求出x的值，从而求出半圆的面积，得出结论．

解答：解：（1）由勾股定理得BC=

AB2-AC2

=

1002-802

=60（米），
∴另一条直角边BC的长为60米．

（2）由已知可得EF为△ABC的中位线，
∴EF=

1

2

BC=

1

2

×60=30（米），
又FC=

1

2

AC=

1

2

×80=40（米），
∴S_矩形DCFE=EF•FC=30×40=1200（米²）．

（3）如图，当花坛的面积达到最大时，半圆O与BD、DE相切，
设切点分别为G、K，圆心为O，
连接OG、OK，则OG⊥BD，OK⊥DE，OG=OK，
又∵∠BDE=90°，
∴四边形OGDK为正方形．
设OG=x，
∵BD=BC-CD=60-30=30，
∴BG=BD-GD=30-x．
∵∠OGB=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△OBG∽△ABC，
∴

OG

BG

=

AC

BC

．
即

x

30-x

=

80

60

=

4

3

，解得x=

120

7

．
∴当花坛的面积达到最大时，其半径为

120

7

米．
∴直角三角形空地ABC的总利用率=[

1

2

π（

120

7

）²+1200]÷（

1

2

×80×60）≈69%．

点评：本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．
利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．