精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
(2010•聊城)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(-1,0)、C(0,-3)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(2)在抛物线的对称轴x=1上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,并求出此时点M的坐标;
(3)设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点,求使∠PCB=90°的点P的坐标.

【答案】分析:(1)根据抛物线的对称轴可求出B点的坐标,进而可用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)由于A、B关于抛物线的对称轴直线对称,若连接BC,那么BC与直线x=1的交点即为所求的点M;可先求出直线BC的解析式,联立抛物线对称轴方程即可求得M点的坐标;
(3)若∠PCB=90°,根据△BCO为等腰直角三角形,可推出△CDP为等腰直角三角形,根据线段长度求P点坐标.
解答:解:(1)∵抛物线的对称轴为x=1,且A(-1,0),
∴B(3,0);
可设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),由于抛物线经过C(0,-3),
则有:a(0+1)(0-3)=-3,a=1;
∴y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3;

(2)由于A、B关于抛物线的对称轴直线x=1对称,
那么M点为直线BC与x=1的交点;
由于直线BC经过C(0,-3),可设其解析式为y=kx-3,
则有:3k-3=0,k=1;
∴直线BC的解析式为y=x-3;
当x=1时,y=x-3=-2,
即M(1,-2);

(3)设经过C点且与直线BC垂直的直线为直线l,作PD⊥y轴,垂足为D;
∵OB=OC=3,
∴CD=DP=1,OD=OC+CD=4,
∴P(1,-4).
点评:此题考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质以及特殊三角形的性质等知识,难度适中.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:2010年全国中考数学试题汇编《一次函数》(01)(解析版) 题型:选择题

(2010•聊城)如图,过点Q(0,3.5)的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点P,能表示这个一次函数图象的方程是( )

A.3x-2y+3.5=0
B.3x-2y-3.5=0
C.3x-2y+7=0
D.3x+2y-7=0

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2010年山东省聊城市中考数学试卷(解析版) 题型:解答题

(2010•聊城)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(-1,0)、C(0,-3)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(2)在抛物线的对称轴x=1上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,并求出此时点M的坐标;
(3)设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点,求使∠PCB=90°的点P的坐标.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2010年山东省聊城市中考数学试卷(解析版) 题型:选择题

(2010•聊城)如图,过点Q(0,3.5)的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点P,能表示这个一次函数图象的方程是( )

A.3x-2y+3.5=0
B.3x-2y-3.5=0
C.3x-2y+7=0
D.3x+2y-7=0

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2010年全国中考数学试题汇编《图形的旋转》(03)(解析版) 题型:填空题

(2010•聊城)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AB=6,Rt△AB'C'可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的,则线段B′C的长为   

查看答案和解析>>

同步练习册答案