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    九年级上册的教材第118页有这样一道习题：
    “在一块三角形余料ABC中，它的边BC=120mm，高线AD=80mm．要把它加工成正方形零件（如图），使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长为多少mm？”
    （1）请你解答上题；
    （2）若将上题图中的正方形PQMN改为矩形，其余条件不变，求矩形PQMN的面积S的最大值；
    （3）我们把上面习题中的正方形PQMN叫做“BC边上的△ABC的内接正方形”，若在习题的条件下，又知AB=150mm，AC=100mm，请分别写出AB边上的△ABC的内接正方形的边长和AC边上的△ABC的内接正方形的边长（不必写出过程，只要直接写出答案即可，结果精确到1mm）；
    （4）结合第（1）、（3）题，若三角形的三边长分别为a，b，c，各边上的高分别为ha，hb，hc，要使a边上的三角形内接正方形的面积最大，请写出a与ha必须满足的条件（不必写出过程）．                                             
    解：（1）设正方形的边长为xmm，由条件可得△APN∽△ABC，
    ∴，即，解得x=48mm．                            
    （2）设PN= xmm，由条件可得△APN∽△ABC，
    ∴，即，解得PQ=．
    ∴S=PN·PQ=，
    ∴S的最大值为2400mm2．                                            
    （3）； mm                                         
    （4）a+ha<b+hb且a+ha < c+hc．                                          
    （1）设正方形的边长为xmm，然后表示出AE的长度，再根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列出比例式，计算即可得解；
    （2）设PN=x，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答；
    （3）根据AB、AC的长度求出相应边上的高，然后根据（1）中的方法计算即可；
    （4）用三角形的边长与相应边上的高表示出这边上的内接正方形的边长，再根据正方形的面积越大，则边长越大解答．
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    (2)拓展应用：如图3，M为AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝45°且DM交AC于F，ME交BC于G．AB＝，AF＝3，求FG的长．

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    （3）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n的值．

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