Question

7．已知：△ABC中，∠A=30°，AB=6，BC=2$\sqrt{3}$．求：AC的长．

Answer 1

分析 分两种情况：①当△ABC是锐角三角形时，作CD⊥AB于D，由含30°角的直角三角形的性质得出AC=2CD，设CD=x，则AC=2x，由勾股定理得出AD=$\sqrt{3}$x，因此BD=6-$\sqrt{3}$x，在Rt△BCD中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②当△ABC不是锐角三角形时，作CD⊥AB于D，同①在Rt△BCD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：分两种情况：
①当△ABC是锐角三角形时，
作CD⊥AB于D，如图1所示：
则∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠A=30°，
∴AC=2CD，
设CD=x，则AC=2x，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{3}$x，
∴BD=6-$\sqrt{3}$x，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：CD²+BD²=BC²，
即x²+（6-$\sqrt{3}$x）²=（2$\sqrt{3}$）²，
解得：x=$\sqrt{3}$，或x=2$\sqrt{3}$（不合题意，舍去），
∴CD=$\sqrt{3}$，
∴AC=2$\sqrt{3}$；
②当△ABC不是锐角三角形时，
作CD⊥AB于D，如图2所示：
则∠ADC=∠BDC=90°，
同①得：CD²+BD²=BC²，
即x²+（$\sqrt{3}$x-6）²=（2$\sqrt{3}$）²，
解得：x=2$\sqrt{3}$，或x=$\sqrt{3}$（不合题意，舍去），
∴CD=2$\sqrt{3}$，
∴AC=4$\sqrt{3}$；
综上所述：AC的长为2$\sqrt{3}$或4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握含30°角的直角三角形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键；注意分类讨论．