Question

7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²-2ax-a交于x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴DE交x轴于点E，DE=2．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是抛物线对称轴上的动点，连接CP绕点P顺时针旋转90°，C的对应点为点Q，连接DQ交抛物线于点F，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，如图3，过点D作DN∥CP交抛物线于点N，交PQ于点M，连接QN，若QN=$\frac{2}{3}$DP，求点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的顶点坐标的纵坐标为2即可确定出a，得出结论；
（2）设出点P的坐标．根据旋转的性质得出点Q的坐标，从而确定出直线DQ的解析式，结合抛物线解析式联立方程组即可求出点F的坐标；
（3）由（2）得出的直线PC解析式，得出直线DN解析式，结合抛物线解析式，确定出N的坐标，即可判断出QN∥DP，进而表示出NQ，DP，建立方程求解即可得出点N坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²-2ax-a，
∴顶点坐标纵坐标为$\frac{-4{a}^{2}-4{a}^{2}}{4a}$=-2a，
∵DE=2，
∴a=-1，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+1，
（2）如图2，

由（1）知，抛物线解析式为y=-x²+2x+1①，
∴抛物线的对称轴为x=1，D（1，2），C（0，1），
∵点P是抛物线对称轴上的动点，
∴设点P坐标为（1，t），
∴直线CP解析式为y=（t-1）x+1
过点P作PG⊥OC，过Q作QH⊥DP，
∵CP绕点P顺时针旋转90°，C的对应点为点Q，
∴QH=CG=1-t，PH=PG=1．
∴EH=1+t，
∴Q（2-t，1+t），
∵D（1，2），
∴DQ解析式为y=-x+3②，
联立①②得，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴F（2，1）；
（3）由（2）知，直线CP解析式为y=（t-1）x+1，
∵DN∥CP，D（1，2），
∴直线DN的解析式为y=（t-1）x+3-t③，
∵抛物线解析式为y=-x²+2x+1④，
联立③④得，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$（点D的纵横坐标）或$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=-{t}^{2}+2t+1}\end{array}\right.$，
∴N（2-t，-t²+2t+1），
由（2）知，Q（2-t，1+t），
∴NQ∥PD，
∴QN=（1+t）-（-t²+2t+1）=t²-t，
∵D（1，2），P（1，t），
∴DP=2-t，
∵QN=$\frac{2}{3}$DP，
∴t²-t=$\frac{2}{3}$（2-t），
∴t=$\frac{4}{3}$（此时连接DQ不能和抛物线相交，所以舍去）或t=-1，
∴N（3，-2）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的顶点坐标，旋转的性质，抛物线和直线的交点坐标，解方程组，解本题的关键是确定出直线DQ的解析式和QN∥DP，是一道中等难点的中考常考题．