练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    4．问题探究
    （1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别是边BC、CD上两点，且BM=CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．
    （2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，求△APB周长的最大值；
    问题解决
    （3）如图③，AC为边长为2$\sqrt{3}$的菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动．连接AM和BN，交于点P．求△APB周长的最大值．

    分析 （1）结论：AM⊥BN．只要证明△ABM≌△BCN即可解决问题；
    （2）如图②中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，连接EP．首先证明PA+PB=2EF，求出EF的最大值即可解决问题；
    （3）如图③中，延长DA到K，使得AK=AB，则△ABK是等边三角形，连接PK，取PH=PB．首先证明PA+PB=PK，求出PK的最大值即可解决问题；

    解答 解：（1）结论：AM⊥BN．
    理由：如图①中，

    ∵四边形ABCD是正方形，
    ∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90°，
    ∵BM=CN，
    ∴△ABM≌△BCN，
    ∴∠BAM=∠CBN，
    ∵∠CBN+∠ABN=90°，
    ∴∠ABN+∠BAM=90°，
    ∴∠APB=90°，
    ∴AM⊥BN．

    （2）如图②中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，连接EP．

    ∵∠EFP=∠FPG=∠G=90°，
    ∴四边形EFPG是矩形，
    ∴∠FEG=∠AEB=90°，
    ∴∠AEF=∠BEG，
    ∵EA=EB，∠EFA=∠G=90°，
    ∴△AEF≌△BEG，
    ∴EF=EG，AF=BG，
    ∴四边形EFPG是正方形，
    ∴PA+PB=PF+AF+PG-BG=2PF=2EF，
    ∵EF≤AE，
    ∴EF的最大值=AE=2$\sqrt{2}$，
    ∴△APB周长的最大值=4+4$\sqrt{2}$．

    （3）如图③中，延长DA到K，使得AK=AB，则△ABK是等边三角形，连接PK，取PH=PB．

    ∵AB=BC，∠ABM=∠BCN，BM=CN，
    ∴△ABM≌△BCN，
    ∴∠BAM=∠CBN，
    ∴∠APN=∠BAM+∠ABP=∠CBN+∠ABN=60°，
    ∴∠APB=120°，
    ∵∠AKB=60°，
    ∴∠AKB+∠APB=180°，
    ∴A、K、B、P四点共圆，
    ∴∠BPH=∠KAB=60°，
    ∵PH=PB，
    ∴△PBH是等边三角形，
    ∴∠KBA=∠HBP，BH=BP，
    ∴∠KBH=∠ABP，∵BK=BA，
    ∴△KBH≌△ABP，
    ∴HK=AP，
    ∴PA+PB=KH+PH=PK，
    ∴PK的值最大时，△APB的周长最大，
    ∴当PK是△ABK外接圆的直径时，PK的值最大，最大值为4，
    ∴△PAB的周长最大值=2$\sqrt{3}$+4．

    点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x+1，直线AC交x轴于点C，交y轴于点A．
    （1）若等边△OBD的顶点D与点C重合，另一顶点B在第一象限内，直接写出点B的坐标；
    （2）过点B作x轴的垂线l，在l上是否存在一点P，使得△AOP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）试在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    15．小明和小丽用如图所示的两个转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，其中一个转盘转到红色，另一个转盘转到蓝色，即可配成紫色，两人商定，若能配成紫色，小明胜，否则小丽胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    12．一个正多边形从一个顶点出发的对角线将该多边形分成了7个三角形，则该正多边形的一个内角的度数为140°．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    19．如图，A（0，-$\sqrt{2}$），点B为直线y=-x上一动点，当线段AB最短时，点B的坐标为（　　）
    A．（0，0）B．（1，-1）C．（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）D．（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    9．观察思考：如图，A、B是直线a上的两个定点，点C、D在直线b上运动（点C在点D的左侧），AB=CD=4cm．已知a∥b，a、b间的距离为$\sqrt{3}$cm，连接AC、BD、BC，把△ABC沿BC折叠得△A1BC．
    （1）当A1、D两点重合时，则 AC=4cm．
    （2）当A1、D两点不重合时，
    ①连接A1D，探究A1D与BC的位置关系，并说明理由．
    ②若以A1、C、B、D为顶点的四边形是矩形，画出示意图并直接写出AC的长．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    16．在?ABCD中，M为CD的中点．若CD=2AD，则∠AMB的大小为（　　）
    A．30°B．45°C．60°D．90°

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    1．已知10x=2，10y=3，10z=1.2，请用含x、y的代数式表示z．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    2．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=12厘米，点P从A出发沿线路AB-BC作匀速运动，点Q从AC的中点D同时出发沿线路DC-CB作匀速运动逐步靠近点P．设两点P、Q的速度分别为1厘米/秒、a厘米/秒（a＞1），它们在t秒后于BC边上的某一点E相遇．  
    （1）求出AC与BC的长度；
    （2）试问两点相遇时所在的E点会是BC的中点吗？为什么？
    （3）若以D、E、C为顶点的三角形与△ABC相似，试分别求出a与t的值．（结果精确到0.1）

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案