Question

4．已知数据x₁、x₂、x₃的平均数为10，方差为2，求x₁²、x₂²、x₃²的平均数．

Answer 1

分析 先由数据x₁、x₂、x₃的平均数为10，得出x₁+x₂+x₃=10×3=30，再根据方差为2，得到S²=$\frac{1}{3}$[（x₁-10）²+（x₂-10）²+（x₃-10）²]=2，利用完全平方公式求出$\frac{1}{3}$（x₁²+x₂²+x₃²）=102，即x₁²、x₂²、x₃²的平均数是102．

解答 解：∵数据x₁、x₂、x₃的平均数为10，
∴x₁+x₂+x₃=10×3=30，
又∵方差为2，
∴S²=$\frac{1}{3}$[（x₁-10）²+（x₂-10）²+（x₃-10）²]=$\frac{1}{3}$[x₁²+x₂²+x₃²-20（x₁+x₂+x₃）+300]=$\frac{1}{3}$（x₁²+x₂²+x₃²-600+300）=$\frac{1}{3}$（x₁²+x₂²+x₃²）-100=2，
∴$\frac{1}{3}$[x₁²+x₂²+x₃²]=102，
即x₁²、x₂²、x₃²的平均数是102．

点评 本题考查了平均数与方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．计算公式是：s²=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]．