Question

如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=

1

2x

的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴作垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．
（1）点E坐标是

（a，1-a）

，点F坐标是

（1-b，b）

（用含a的代数式表示点E的坐标，用含b的代数式表示点F的坐标）
（2）求△OEF的面积（结果用含a、b的代数式表示）；
（3）△AOF与△BOE是否相似？若相似，请证明；若不相似，请简要说明理由．
（4）当点P在曲线y=

1

2x

上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，大小始终保持不变的那个角，并求出此角的大小，同时证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由PM与x轴垂直，E在PM上，得到E的横坐标与P相同，同理F的纵坐标与P相同，求出直线AB的解析式，将E的横坐标及F的纵坐标分别代入，即可确定出E与F的坐标；
（2）三角形EOF的面积=三角形AOB的面积-三角形BOF的面积-三角形AOE的面积，表示即可；
（3）根据题意易知∠A=∠B，要证△AOF与△BOE相似，只证夹边对应成比例即可；
（4）应用三角形内角和定理及内外角关系可求∠EOF=45°是一定值，即解．

解答：解：（1）根据题意，易知：直线AB的解析式为y=-x+1，
点E的坐标是（a，1-a），点F的坐标是（1-b，b）；
故答案为：（a，1-a）；（1-b，b）；

（2）∵OA=OB=1，NF=1-b，EM=1-a，
∴S_△EOF=S_△AOB-S_△AOE-S_△BOF
=

1

2

×1×1-

1

2

×1×（1-a）-

1

2

×1×（1-b）=

a+b-1

2

；

（3）△AOF和△BEO一定相似，理由为：
证明：∵OA=OB=1，
∴∠OAF=∠EBO，
∴BE=BA-AE=

2

-

(1-a)2+(1-a)2

=

2

a，
AF=BA-BF=

2

-

(1-b)2+(1-b)2

=

2

b，
∵点P是函数y=

1

2x

图象上任意一点，
∴b=-

1

2a

，即2ab=1，
∴

2

a•

2

b=1，
又∵OB•OA=1，
∴AF•BE=OB•OA，即

AF

OB

=

OA

BE

，
∴△AOF∽△BEO；

（4）当点P在曲线上移动时，在△OEF中，∠EOF一定等于45°，
由（3）知，△AOF∽△BEO，
∴∠AFO=∠BOE，
在△BOF中，∠AFO=∠BOF+∠B，而∠BOE=∠BOF+∠EOF，
∴∠EOF=∠B=45°．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，外角性质，以及反比例函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．