Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x-5交x轴于A，交y轴于B，点P（0，-1），D是线段AB上一动点，DC⊥y轴于点C，反比例函数的图象经过点D．
（1）若C为BP的中点，求k的值．

（2）DH⊥DC交OA于H，若D点的横坐标为x，四边形DHOC的面积为y，求y与x之间的函数关系式．

（3）将直线AB沿y轴正方向平移a个单位（a＞5），交x轴、y轴于E、F点，G为y轴负半轴上一点，G（0，-a+5），点M、N以相同的速度分别从E、G两点同时出发，沿x轴、y轴向点O运动（不到达O点），同时静止，连接并延长FM交EN于K，连接OK、MN，当M、N两点在运动过程中以下两个结论：①∠EFM=∠MNK；②∠FMO=∠OKN，其中只有一个结论是正确的，请判断并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）∵B点是直线y=-x-5与y轴的交点，
∴x=0，y=-5，即B点坐标为（0，-5），
∵点P（0，-1），C为BP的中点，
∴C点的坐标为（0，-3），
∴D点纵坐标为-3，即-3=-x-5，x=-2，
∴D点坐标为（-2，-3），
∵D在反比例函数y=的图象上，
∴k=（-2）×（-3）=6．

（2）∵D点的横坐标为x，
∴其纵坐标为-x-5，
∵D点在第三象限，
∴x＜0，-x-5＜0，
∴y=|x|•|-x-5|=-x•（x+5）=-x²-5x．

（3）连接MG、EG，
∵GNME是等腰梯形，
∴∠MNK=∠NMG=∠EFM，
又∵△GME≌△FME，
∴∠MGE=∠EFM，
∴∠MNK=∠EFM．
故①正确．
分析：（1）根据直线y=-x-5可求出B点坐标，由于C是PB的中点，所以可求出C点坐标，把C点的纵坐标代入直线解析式即可求出D点的横坐标，进而可求出k的值．
（2）根据点D在直线y=-x-5的图象上，可用x表示出点D的纵坐标，再根据矩形的面积公式即可求解；
（3）根据将直线AB沿y轴正方向平移a个单位，点M、N以相同的速度分别从E、G两点同时出发，沿x轴、y轴向点O运动，得到四边形GNME是个等腰梯形，得到∠MNK=∠NMG=∠MGE，再根据△GME≌△FME，都得到∠MGE=∠EFM，进而求得∠MNK=∠EFM．
点评：本题比较复杂，涉及到一次函数图象上点的坐标特点、用待定系数法求反比例函数的解析式、全等三角形的判定等知识，难度较大．