Question

1．⊙O交坐标轴于A、B、C、D四点，P为x轴上一点，PE切⊙O于E，连接ED、EB，PA=4，PE=8
（1）求E点坐标；
（2）求∠B正弦值；
（3）求直线PE解析式；
（4）求ED•EF的值；
（5）当点P在x轴上运动时，若其他条件不变，是否存在点P，使△PEF∽△EBD？存在求出点P的坐标，不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连结OE，作EH⊥AB于H，如图，设⊙O的半径为r，先根据切线的性质得OE⊥PE，再利用勾股定理得到8²+r²=（r+4）²，解得r=6，接着利用面积法计算出EH=$\frac{24}{5}$，然后根据勾股定理计算出OH即可得到E点坐标；
（2）在Rt△BHE中，先根据勾股定理计算出BE，然后根据正弦的定义求解；
（3）利用待定系数法求直线PE的解析式；
（4）连结BD，当△PEF∽△EBD，则根据相似三角形的性质得到∠EPF=∠BED，根据圆周角定理得到∠BED=$\frac{1}{2}$∠BOD=45°，所以∠EPF=45°，于是可判断△OEP为等腰直角三角形，所以PE=OE=6，OP=$\sqrt{2}$OE=6$\sqrt{2}$，从而得到P点坐标．

解答 解：（1）连结OE，作EH⊥AB于H，如图，设⊙O的半径为r，
∵PE切⊙O于E，
∴OE⊥PE，
在Rt△OPE中，∵PE²+OE²=OP²，
∴8²+r²=（r+4）²，解得r=6，
∴OE=6，OP=10，
∵$\frac{1}{2}$EH•OP=$\frac{1}{2}$•OE•PE，
∴EH=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
在Rt△OEH中，OH=$\sqrt{O{E}^{2}-E{H}^{2}}$=$\frac{18}{5}$，
∴E点坐标为（-$\frac{18}{5}$，$\frac{24}{5}$）；
（2）在Rt△BHE中，∵EH=$\frac{24}{5}$，BH=OB+OH=6+$\frac{18}{5}$=$\frac{48}{5}$，
∴BE=$\sqrt{E{H}^{2}+B{H}^{2}}$=$\frac{24\sqrt{5}}{5}$，
∴sinB=$\frac{EH}{BE}$=$\frac{\frac{24}{5}}{\frac{24\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（3）设直线PE的解析式为y=kx+b，
把P（-10，0），E（-$\frac{18}{5}$，$\frac{24}{5}$）分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{-10k+b=0}\\{-\frac{18}{5}k+b=\frac{24}{5}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{15}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线PE的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{15}{2}$；
（4）存在．
连结BD，
∵△PEF∽△EBD，
∴∠EPF=∠BED，
∵∠BED=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∴∠EPF=45°，
∴△OEP为等腰直角三角形，
∴PE=OE=6，
∴OP=$\sqrt{2}$OE=6$\sqrt{2}$，
∴P点坐标为（-6$\sqrt{2}$，0）．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线的性质定理和等腰直角三角形的性质；合理使用相似三角形的性质；会利用待定系数法求一次函数解析式；能使用勾股定理计算线段的长度．