分析 (1)连结OE,作EH⊥AB于H,如图,设⊙O的半径为r,先根据切线的性质得OE⊥PE,再利用勾股定理得到82+r2=(r+4)2,解得r=6,接着利用面积法计算出EH=$\frac{24}{5}$,然后根据勾股定理计算出OH即可得到E点坐标;
(2)在Rt△BHE中,先根据勾股定理计算出BE,然后根据正弦的定义求解;
(3)利用待定系数法求直线PE的解析式;
(4)连结BD,当△PEF∽△EBD,则根据相似三角形的性质得到∠EPF=∠BED,根据圆周角定理得到∠BED=$\frac{1}{2}$∠BOD=45°,所以∠EPF=45°,于是可判断△OEP为等腰直角三角形,所以PE=OE=6,OP=$\sqrt{2}$OE=6$\sqrt{2}$,从而得到P点坐标.
解答 解:(1)连结OE,作EH⊥AB于H,如图,设⊙O的半径为r,
∵PE切⊙O于E,
∴OE⊥PE,
在Rt△OPE中,∵PE2+OE2=OP2,
∴82+r2=(r+4)2,解得r=6,
∴OE=6,OP=10,
∵$\frac{1}{2}$EH•OP=$\frac{1}{2}$•OE•PE,
∴EH=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$,
在Rt△OEH中,OH=$\sqrt{O{E}^{2}-E{H}^{2}}$=$\frac{18}{5}$,
∴E点坐标为(-$\frac{18}{5}$,$\frac{24}{5}$);
(2)在Rt△BHE中,∵EH=$\frac{24}{5}$,BH=OB+OH=6+$\frac{18}{5}$=$\frac{48}{5}$,
∴BE=$\sqrt{E{H}^{2}+B{H}^{2}}$=$\frac{24\sqrt{5}}{5}$,
∴sinB=$\frac{EH}{BE}$=$\frac{\frac{24}{5}}{\frac{24\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$;
(3)设直线PE的解析式为y=kx+b,
把P(-10,0),E(-$\frac{18}{5}$,$\frac{24}{5}$)分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{-10k+b=0}\\{-\frac{18}{5}k+b=\frac{24}{5}}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{15}{2}}\end{array}\right.$,
∴直线PE的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{15}{2}$;
(4)存在.
连结BD,
∵△PEF∽△EBD,
∴∠EPF=∠BED,
∵∠BED=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$×90°=45°,
∴∠EPF=45°,
∴△OEP为等腰直角三角形,
∴PE=OE=6,
∴OP=$\sqrt{2}$OE=6$\sqrt{2}$,
∴P点坐标为(-6$\sqrt{2}$,0).
点评 本题考查了圆的综合题:熟练掌握圆周角定理、切线的性质定理和等腰直角三角形的性质;合理使用相似三角形的性质;会利用待定系数法求一次函数解析式;能使用勾股定理计算线段的长度.
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A. | 1 | B. | 1.5 | C. | 2 | D. | 2.5 |
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