Question

（本题满分10分）

如图，已知OA⊥OB，OA＝8，OB＝6，以AB为边作矩形ABCD，使AD＝a，过点D作DE垂直OA的延长线交于点E．

（1）求证：△OAB∽△EDA；                               

（2）当a为何值时，△OAB与△EDA全等？并求出此时点C到OE的距离．

 

Answer 1

【答案】

（1）证明：

∵OA⊥OB ，∴∠1与∠2互余，

∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90^o，

∴∠2与∠3互余，∴∠1＝∠3，……………………… 2分

∵OA⊥OB，DE⊥OA，∴∠BOA＝∠DEA＝90^o………3分

∴△OAB∽△EDA．………………………………………4分

（2）解：当a＝10时，△OAB与△EDA全等．……………5分

过点C作CH⊥OE交OE于点H， 则CH就是点C到OE的距离，过点B作BF⊥CH交CH于点F，……… 6分

∵AD=AB，∴矩形ABCD为正方形，

∴BC＝AB，∠BOA＝∠CBA＝90^o，

∵OA⊥OB ，CH⊥OA，∴OB∥CH，

∴∠FBO＝∠CFB，

∵BF⊥CH，∴∠FBO＝90^o，

∴∠4与∠5互余，∠1与∠5互余，∴∠1＝∠4，

∵∠BFC＝∠BOA，BC＝AB，……………………………………………………… 8分

∴△OAB≌△FCB，……………………………………………………………………9分

∴CF＝OA＝8，BO＝BF，∴四边形OHFB为正方形，

∴HF＝OB＝6，∴点C到OE的距离CH＝CF+HF＝8+6＝14．………………10分

【解析】略