Question

已知：如图，二次函数y=

1

6

x2+(

2

3

+

1

6

m)x+

2

3

m（0＜m＜4）的图象与x轴交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标（可用含字母m的代数式表示）；
（2）第一象限内的点C在二次函数y=

1

6

x2+(

2

3

+

1

6

m)x+

2

3

m
的图象上，且它的横坐标与纵坐标之积为9，∠BAC的正弦值为

3

5

，求m的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由二次函数y=

1

6

x2+(

2

3

+

1

6

m)x+

2

3

m（0＜m＜4）的图象与x轴交于A、B两点，令y=0，可得方程：

1

6

x2+(

2

3

+

1

6

m)x+

2

3

m=0，解此方程即可求得A、B两点的坐标；
（2）首先过点C作CD⊥x轴于点D，由第一象限内的点C的横坐标与纵坐标之积为9，可设点C的坐标为：（x，

9

x

），由∠BAC的正弦值为

3

5

，可得：tan∠BAC=

CD

AD

=

9 x

4+x

=

3

4

，即可求得x的值，即可得点C的坐标，然后代入二次函数的解析式，即可求得m的值．

解答：解：（1）当y=0时，

1

6

x2+(

2

3

+

1

6

m)x+

2

3

m=0，
∴x²+（4+m）x+4m=0，
∴（x+4）（x+m）=0，
解得：x₁=-4，x₂=-m，
∵0＜m＜4，
∴x₂＞x₁，
∵二次函数y=

1

6

x2+(

2

3

+

1

6

m)x+

2

3

m（0＜m＜4）的图象与x轴交于A、B两点，
∴点A的坐标为：（-4，0），点B的坐标为：（-m，0）；

（2）过点C作CD⊥x轴于点D，
∵点C横坐标与纵坐标之积为9，
设点C的坐标为：（x，

9

x

），
∴CD=

9

x

，AD=OA+OD=4+x，
∵∠BAC的正弦值为

3

5

，
∴∠BAC的正切值为：

3

4

，
∴tan∠BAC=

CD

AD

=

9 x

4+x

=

3

4

，
即x²+4x-12=0，
解得：x₁=2，x₂=-6（舍去），
∴点C的坐标为：（2，

9

2

），
将点C代入二次函数y=

1

6

x2+(

2

3

+

1

6

m)x+

2

3

m得：

1

6

×4+（

2

3

+

1

6

m）×2+

2

3

m=

9

2

，
解得：m=

5

2

．

点评：此题属于二次函数的综合题．难度较大，注意掌握二次函数与一元二次方程的关系．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．